Karácsonyi matek, avagy karácsonyi készülődés matekfeladatokkal fűszerezve

Kata egy érettségi előtt álló fiú édesanyja. A nagy évvégi hajtás ellenére minden évben különleges karácsonyt próbál szervezni a családjának. De az idén alaposan megcsúszott az ünnepi készülődéssel. Így nem jön ki a karácsonyi matek időbeosztás. Miközben a konyhaasztalnál ült teljes káosz uralkodott körülötte és a gondolatai közt is. Az asztalon csomagolópapírok, sütireceptek, bevásárlólista, és egy nagy tábla csoki, amit fel is bontott, hogy egy kicsit jobb kedvre derüljön.  Egy nap volt hátra karácsonyig, és még rengeteg tennivaló várt rá. Érezte, hogy ez egyedül nem fog menni. Kata fia Bence, éppen a nappaliban videójátékozott, teljesen megfeledkezve a közelgő ünnepről.

Karácsonyi matek

„Bence!” – kiáltotta Kata hangosan. – „Ha már ilyen jól szórakozol, segítenél a karácsonyi készülődésben nekem? A matekos tudásod most nagyon is jól jönne!”

Bence vonakodva, nehezen tette le a kontrollert, de kiment a konyhába. Kata pedig egyenesen a lényegre tért.

„Bence kiszámolnád kérlek, mennyi csomagolópapírra lenne még szükségünk? Van 5 nagy doboz 30x10x20 cm méretben. Ezen kívül 3 henger alakú doboz, aminek az átmérője 18 cm a magassága pedig 25 cm. Ezek nincsenek még becsomagolva, de elfogyott a csomagolóanyag. Tudod itt felszínt kell számolni, viszont a végén számolj rá még 50 %-ot, az átfedések miatt.”

Bence fogott egy lapot és felírta a téglatest és a henger felszínének képletét. A téglatestek felszíne a hat határoló téglalap területének az összege. Ide egyszerűen be tudott helyettesíteni, és a számolást a telefonja már megoldotta. A három henger alakú doboz felszíne az alapkör területének a kétszerese és a palást területe. A köt területéhez meg kellett felezni az átmérőt, hogy a sugárral tudjon számolni. A palást egy téglalap, amelynek az egyik oldala a kör kerülete, a másik oldala pedig a henger magassága. Miután kiszámolta a dobozok felszínét és összeadta, már csak meg kellett szoroznia 1,5-el.

Miután ezzel végzett Bence, megnézte a neten mennyi egy guriga csomagolópapír mérete. Kiszámolta, hogy egy 200×70 cm-es guriga teljes mérete 14000 négyzetcentiméter.  Ezzel elosztotta a szükséges teljes anyagmennyiséget és megkapta, hogy kb. 4 guriga csomagolópapírra van még szükség az ajándékok csomagolásához. Ezt gyorsan elmondta Katának, majd fogta a bevásárlólistát, és elment bevásárolni.

Karácsonyi matekos bevásárlás

Amíg Bence sétált a boltban eszébe jutott néhány matekos karácsonyi feladat is. Tudta, hogy 4 különböző színű fényfűzér van otthon. Mosolyogva gondolt arra, hogy ha ezeket egymás után fűzve teszi fel a karácsonyfára, akkor azt 4!=24-féleképpen teheti meg.

A szaloncukrokhoz érve bevillant neki egy tegnapi matekórai érettségi feladat. Ez úgy szólt, hogy: Egy dobozban van 5 piros golyó, vajon hány fehéret kell hozzátenni, hogy a fehér golyók kihúzásának a valószínűsége 80 % legyen? Arra gondolt, hogy ezt a feladatot is lehet karácsonyra hangolni. Ha a golyókat kicseréli kókuszos, illetve marcipános szaloncukorra, akkor máris van egy karácsonyi matekos feladata. A bevásárló listán szaloncukor is szerepelt, szóval gyorsan be is tett a kosarába néhány dobozzal.

Karácsonyi süti

Miközben Bence vásárolt, Kata elővette a mézeskalács receptet, begyúrta és kisütötte a tésztát.  Majd mikor Bence hazaért kiszámolta, hogy egy darab hány kalória, mert a barátnője számolja a kalóriákat. Ehhez már nem sok matektudás kellett, ez már nem is karácsonyi matek. Egy kalóriaszámoló appba beírta a recept összetevőit, ami kiszámolta, hogy a teljes tészta 5300 kcal. Mivel 25 db mézeskalács készült, egy darabba 212 kcal kalória van. Reméli, hogy egy majd belefér karácsonykor a barátnőjének is. Legfeljebb majd elmennek futni, hiszen egy fél óra futással ennyit le lehet dolgozni.

Bence megígérte édesanyának, hogy másnap feldíszíti a karácsonyfát is, és megkérte Katát, hogy a 24 lehetőségből válasszon egyet, ahogy díszítse az égőkkel a fát.

Szentestére pedig végre minden a helyére került és az ajándékok is a fa alatt sorakoztak becsomagolva. A frissen sült mézeskalács illata betöltötte a házat, és a karácsonyfa ragyogó díszei mindenkit ünnepi hangulatba hoztak. Ezeknek az előkészületek az elvégzéséhez a karácsonyi matekra is szükség volt.

Kinek-kinek matektanulástól mentes vagy abban gazdag karácsonyi ünnepeket kívánok ezekkel az ingyenes interaktív leckékkel!

Éva

GOMATEK

A karácsonyfa geometriája: matek az ünnepben

A karácsony az év legvarázslatosabb időszaka, tele fénnyel, szeretettel és csodákkal. Az ünnepi hangulathoz a karácsonyfa is nagyban hozzájárul. Míg az érettségire készülő diákok gondolatának középpontjában az érettségire jelentkezés mellett a térgeometria tanulása áll. Ez egy nehéz témakör hiszen a különböző geometriai alakzatok, testek nagyon elvontnak tűnhetnek. Pedig a térgeometria témakörében előforduló testekkel az életben használt tárgyak jól modellezhetőek. Például első ránézésre a fenyőfa természetes formájáról sem a matek jut az eszünkbe, bár a karácsonyfa megközelítőleg egy kúphoz hasonlít. Ebben a cikkben megnézzük, milyen matematika jelenhet meg a karácsonyfa körül, milyen a karácsonyfa geometriája. Valamint elrejtettem néhány videót is a cikkben, amelyekkel a térgeometria gyakorolható egy kicsit.

Kúp vagy nem kúp?

Ha megfigyeljük a természetben szabadon növekvő fenyőfákat, észrevesszük, hogy ágai szinte szimmetrikusan, körkörösen emelkedve helyezkednek el. Azt is észrevehetjük, hogy a fa törzse körül felfelé, a csúcs felé egyre rövidebbek az ágak. Ez azt eredményezi, hogy a fenyőfák alul szélesebbek, és fokozatosan vékonyodnak a csúcs felé. Matematikailag az ilyen fenyőfaformát leginkább egy egyenes körkúphoz lehet hasonlítani.

Egy fenyőfa, mint kúp tengelyesen szimmetrikus test. A szimmetriatengelyének a fa törzsét tekinthetjük. Tehát, ha a tengely mentén elfűrészelnénk, akkor két egyforma félkúpot kapnánk. Persze, ha időben megyünk el karácsonyfát vásárolni, és nem a maradék kis silány, ferde, aszimmetrikus fácskák közül választhatunk. Míg a műfenyőkre jellemző, hogy pontosan tengelyesen szimmetrikusak, addig a természetben megtalálható igazi fenyőfák, csak többé-kevésbé szimmetrikusak.

Milyen a karácsonyfa formája?

Kúppal tényleg jól meg lehet közelíteni a karácsonyfák alakjait, valójában azonban a természetben előforduló fenyőfák nem tökéletesen szimmetrikusak. Sokszor előfordul az is, hogy a fa törzse ferde, vagy görbe. S mivel a fenyőfák, különböző fafajokból származnak, ezért az ágak sűrűsége és elhelyezkedése is eltérő lehet.

Ezért nem is könnyű feladat az apukáknak, amikor elküldik őket karácsonyfát vásárolni. Hiszen mindenki szép, formás, azaz szimmetrikus fát szeretne karácsonykor körül állni, ez természetes.

Szimmetria a karácsonyfán

Leginkább a kisgyermekes családoknál fontos, hogy hatalmas, formás karácsonyfa alá kerüljenek az ajándékok. Ugyanis a szép szimmetrikus karácsonyfa harmóniája visszaköszön a fotókon, videókon is, amire jó visszanézni évek múltán is.

Azonban nem csak a fa formájában találhatunk szimmetriát, hanem ezt a díszítéssel is elérhetjük. Ha azonos színű, formájú díszeket a fa különböző pontjain szimmetrikusan helyezünk el, máris a szemnek vonzó karácsonyfánk lesz. Sőt a karácsonyfa szimmetriáját a körkörösen elhelyezett fényfűzérek alkalmazásával is lehet növelni.

A karácsonyfa geometriája: gömbök, a tökéletes karácsonyfadíszek

A gömbök teljesen szimmetrikus alakjukkal és változatos színvilágukkal az egyik leggyakoribb karácsonyfadíszek. A gömb minden pontja a középpontjától egyenlő távolságra van, ezért szimmetrikus test. Ez a tökéletes szimmetria teszi lehetővé, hogy a gömb bármilyen szögből nézve ugyanolyan formában jelenjen meg. Más geometriai testek (például a kúp vagy a hasáb) csak bizonyos oldalról látványosak, a gömb a karácsonyfa bármely ágán elhelyezve, mindig szemet gyönyörködtető.

Szerintem senki nem számolná ki, hogy mennyi teret foglal el a szobából a karácsonyfa, és mennyi anyag kellene a befedéséhez. De az érettségizőknek jól jöhet, ha egy kicsit gyakorolják a kúp és a gömb felszínének és térfogatának a kiszámolását.

Kinek-kinek matektanulástól mentes vagy abban gazdag karácsonyi ünnepeket kívánok ezekkel az ingyenes interaktív leckékkel!

Éva

GOMATEK

Statisztika feladatok megoldással -statisztikai mutatók a mindennapi életben is

Statisztika feladatok megoldásával nem csak a középiskolás diákok találkozhatnak. Már az általános iskolában is foglalkoznak a diákok statisztika feladatokkal. A központi felvételin is számtalanszor szerepel átlagszámítás, az utóbbi időben pedig móduszt is tudni kell meghatározni. A matekérettségit sem lehet megúszni statisztikai feladatok megoldása nélkül.

Statisztika feladatok a matekérettségin

2024 szeptemberétől a matekérettségin is számos változás történt, többek közt a statisztika témakörében is. A statisztika feladatok egyre nagyobb szerepet kapnak az érettségin. Hogy konkrétan milyen változások történtek matekból, mi az, ami új, és mi az, ami már nem lesz az érettségin? Erről részletesen olvashatsz ebben a blogbejegyzésben.

Statisztikai feladatok a mindennapi életben

A statisztika teljesen körülvesz bennünket. Nemcsak a matekórán, de a mindennapi életünkben is számtalan helyen találkozhatunk vele. A statisztikai adatok ismerete segítenek a döntéshozatalban, trendeket jelezhetnek előre, pl. gazdasági növekedést, klímaváltozást. A statisztika segít megérteni a minket körülvevő világot, és olyan döntéseket hozni, amelyek a lehető legjobbak számunkra.

Nézzünk meg néhány terület, ahol biztosan találkozol statisztikával. Egy focimeccs kapura rúgásainak számától kezdve egy kosárcsapat játékosai dobásainak átlagáig, a sport tele van statisztikával. Ezek az adatok segítik a játékosokat, csapatokat és edzőket a teljesítmények értékelésében. Az időjárásjelentésben szereplő átlaghőmérsékletek, csapadékmennyiségek is mind-mind statisztikai adatokon alapulnak. A GDP növekedése, az infláció, a munkanélküliségi ráta mind-mind statisztikai adatok.

Statisztika feladat megoldással

Feladat: Egy kisvállalkozásban 6 alkalmazott mindegyikének fizetése 900 euró, a csoportvezető 1500 eurót, a cégvezető 2300 eurót keres. Eléri-e az átlagkeresett ezen a munkahelyen az országos átlagot, ami 1100 euró?

Megoldás: Az alkalmazottak fizetésének az összegét elosztva az alkalmazottak számával megkapjuk a fizetések átlagát. Természetesen, ha több egyforma adat van, akkor azokat nem kell egyesével összeadni, lehet szorzást is alkalmazni.

Ez azt jelenti, hogy az országos átlagfizetést meghaladja a vállalkozásban dolgozók fizetésének átlaga. Még akkor is, ha a dolgozók többsége átlag alatt keres, de a két lényegesen magasabb érték miatt az átlag egész szép érték lesz. 

Azonban, ha a móduszt nézzük, akkor már más a helyzet. A módusz a leggyakrabban, legtöbbször előforduló érték, ez most 900, ami lényegesen kevesebb, mint az országos átlag. 

Megnézhetjük az adatok mediánját is, ami nagyság szerint sorba rendezve a középső elem, vagy a két középső átlaga. Ez is 900 lesz ennél a feladatnál. Ez azt jelenti, hogy a cég dolgozóinak legalább a fele 900 eurónál nem keres többet.

Újabb statisztikai feladat megoldással

Feladat: Egy matek dolgozat átlaga 3,5 lett. Az egyik diák utólag négyesre írta meg a pótdolgozatát, és így az átlag 3,52-ra nőtt. Hányan írták meg eredetileg a dolgozatot?

Megoldás: Jelölje x azok számát, akik eredetileg megírták a dolgozatot. Ekkor a dolgozatok összpontszáma az átlag és a létszám szorzata, vagyis 3,5x. Most nézzük mi történik, ha a hiányzó is megírja a dolgozatot? Ekkor már összesen x+1 tanuló írt dolgozatot, és ezeknek a dolgozatoknak az átlaga 3,52 lett. Ez azt jelenti, hogy ebben az esetben a dolgozatok összpontszáma 3,52(x+1). De ez ugyanaz, mint az első körben megírt dolgozatok összpontszámának és az utólag írt négyesnek az összege. Most már csak az így kapott egyenletet kell megoldani.

Vagyis 24 tanuló írta meg eredetileg a dolgozatot.

Szeretnéd begyakorolni a statisztikai mutatók kiszámítását? Akkor nézd meg ezt a videót, és iratkozz fel a GOMATEK YouTube csatornájára is, ahol 100-nál is több videós feladatmegoldást nézhetsz meg.

Ha eddig nem voltál elég sikeres matekból, akkor próbáld ki ezt az új módszert ingyen.

Éva

GOMATEK

Mértani sorozat

A nevezetes számsorozatok közül a számtani sorozatról már korábban készült egy blogcikk, ha még nem tetted, akkor mindenképpen olvasd el először azt. Ebben az írásban most arról lesz szó, mit kell tudni a mértani sorozatokról középiskolásoknak. A mértani sorozat a másik nevezetes számsorozat, amivel középiskolában megismerkednek a diákok.

A mértani sorozat egy függvény, aminek értelmezési tartománya a pozitív egész számok, értékkészlete a valós számok halmaza, mint minden számsorozatnak. Mivel a mértani sorozat számsorozat, ezért olyan függvény, ami egy „n” pozitív egész számhoz hozzárendeli az „n”-edik tagját a sorozatnak. De most nézzük meg mi különbözteti meg a mértani sorozatot a többi számsorozattól.

Mit nevezünk mértani sorozatnak?

A mértani sorozat olyan sorozat, amelyben a második tagtól kezdve bármely tag és az azt közvetlenül megelőző tag hányadosa állandó. Ezt az állandót a sorozat hányadosának vagy kvóciensének nevezzük és „q”-val jelöljük.

A mértani sorozat tagjainak meghatározása

A mértani sorozat esetében is meg tudjuk határozni a sorozat bármelyik tagját az első tag és a hányados segítségével. Ha még emlékszel rá a számtani sorozatnál ezt az első tagból és a differenciából tudtuk megtenni. Mértani sorozatnál az n-edik tagot úgy kapjuk meg az első tagból és a hányadosból, hogy az első tagot megszorozzuk a hányados „n-1”-edik hatványával. Pl. ha az 53. tagját keressük a mértani sorozatnak, akkor az első tagot összeszorozzuk a kvóciens 52. hatványával.

Ezt kell még tudni a mértani sorozatról

Egy mértani sorozatban bármely három egymást közvetlenül követő tag közül a középső elem a két szélső mértani közepe. Innen származik a sorozat elnevezése is. Két szám mértani középét úgy kapjuk meg, hogy a két szám szorzatából négyzetgyököt vonunk. Ez az állítás a számtani sorozathoz hasonlóan nemcsak három közvetlenül egymást követő tag esetén igaz. Hanem akkor is, amikor az egyik tagtól ugyanannyira jobbra és ugyanannyira balra helyezkedik el a másik két tagja a sorozatnak.

Mértani sorozat első „n” tagjának az összege

A mértani sorozat első tagjának és a hányadosának ismeretében meg tudjuk határozni az első „n” tag összegét. Ez azt jelenti, hogy nem kell kiszámolni a sorozat mind az első száz tagját, ha a sorozat első száz tagjának az összegét szeretnénk megtudni. Elég csak a lent látható képletbe behelyettesíteni, és elvégezni a műveleteket. Ez a képlet és az előbb már említett „n”-edik, vagy általános tag képlete is benne van a függvénytáblázatban.

2024-től ennek az összegképletnek a bizonyítását is tudni kell már a középszinten érettségizőknek is. Bár ezt leginkább csak az írásbeli érettségin 25 pontot el nem ért, de 12 pontot megszerzett szóbeli vizsgázóktól kérdezhetik.

Mértani sorozatok a matek érettségin

Mint szinte minden feladattípus a mértani sorozatos feladatokból is lehet pár pontos feladat a matek érettségin. De természetesen az érettségi második részében a nehezebb feladatok között is szerepelhet mértani sorozat.

Az első részes feladatok között olyanra lehet számítani, ahol a függvénytáblázatban lévő képletet kell alkalmazni. Ezeknél a feladatoknál, ha valamelyik tagját kell a mértani sorozatnak meghatározni, akkor nem csak a képletekből lehet dolgozni. Ilyen esetben minden tagot egyesével ki lehet számolni, addig míg meg nem kapjuk a kért végeredményt.

Nehezebb feladat a mértani sorozat témaköréből, amikor a függvénytáblázatban lévő képletet használva a hatványkitevőben lévő „n” az ismeretlen. Ekkor ugyanis egy exponenciális egyenletet kapunk, amit logaritmus segítségével lehet megoldani. Ezek elég sokszor nehezen szoktak menni, meg félelmetesnek is tűnnek.

Ha Te is szeretnéd jól megoldani a mértani sorozatokat a matek érettségin, akkor a GOMATEK interaktív tanfolyamot ajánlom. Ebben egy egész témakör van a segítségedre, hogy elsajátíts mindent a számtani és mértani sorozatokról.

Éva

GOMATEK