Matek tanulás

Matek tanulás

Matematika a mindennapokban: Hogyan segíthet a matek tanulás a mindennapi életben?

A matek tanulás rendkívül hasznos lehet a mindennapi életben, hiszen a matematikai készségek és tudás alkalmazhatók számos hétköznapi helyzetben és döntésben. Az alábbiakban kifejtem, hogyan segíthet a matek tanulás a mindennapi életben.

Pénzügyi döntésekben sokat segíthet a matek tanulás

A matematikai tudás, készségek nagy segítséget nyújtanak a pénzügyi döntések meghozatalában. Az alapvető matematikai műveletek (összeadás, kivonás, szorzás, osztás) ismerete elengedhetetlen például a családi költségvetés készítéséhez. Mindennap használjuk ezeket a kiadások, bevételek nyomon követésénél és a megtakarítások tervezésénél. Ha nagyobb értékű vásárlást (autó, ház) tervezünk, arra sokszor évekig spórolunk, vagy utána évekig fizetjük a hitel törlesztő részleteit. A hitelkamatok megértésénél és a befektetések hozamának kiszámításánál nélkülözhetetlen a kamatos kamatszámítás. Emellett az új, 2024-től életbe lévő NAT alapján minden érettségizőnek kell tudni gyűjtőjáradékot és törlesztőrészletet is számolni. Ezeknek az ismereteknek a birtokában könnyebb akár hosszútávú tudatos pénzügyi döntést hozni.

matek tanulás pénzügyekben is

Mindennapi vásárlások, akciók

A napi, vagy heti vásárlások során számos matematikai szempontot kell figyelembe venni. Egy egyszerű vásárláskor is figyelni kell az árak összehasonlítására, a kedvezmények mértékére, az adók, szállítási és egyéb költségek hozzáadására. A százalékos kedvezmények, akciók és a kuponok alkalmazásakor is matematikai műveleteket hajtunk végre.

Épületek tervezése, felújítás, költözés és a matektanulás

Az építészet területén is elengedhetetlen a matematikai, különösen a geometriai ismeretek alkalmazása. A terület-, kerület-, térfogat- és felszínszámítási ismeretek, a jó térlátás nélkülözhetetlen egy lakásfelújításnál, építésnél.  Ezekben az esetekben meg kell tervezni az építőanyagok mennyiségét, azok költségeit, és a munkadíj mértékével növelve költségvetést kell tudni készíteni. Az alapvető geometriai ismeretek segíthetnek az új lakás berendezésének tervezésében, azaz abban, hogy a bútorok elférnek-e a rendelkezésre álló helyen.

Utazás, nyaralás tervezéséhez is elengedhetetlen a matek tanulás

Az utazás során a logikus gondolkodás, a matematikai tapasztalatok is segítenek az útvonalak tervezésében és az utazási idők becslésében. A térképek és navigációs eszközök használata során is szükség van matematikai alapokra, például a távolságok, sebességek és idők becslésére, számítására. Az utazás és a nyaralás költségeinek a megtervezése is matekos gondolkodás, tudást igényel.

Gasztronómia és a matek

A főzés során számos matematikai feladattal találkozhatunk, például az alapanyagok mennyiségének arányosításával és az adagok átszámításával. Gondoljuk csak arra, ha a recept négy személyre szól, de mi csak három személyre akarunk ételt készíteni. Matematikai tudás segíthet abban, hogy egy receptet átalakítsunk, például ha a személyek számát vagy az adagokat szeretnénk megváltoztatni. Természetesen meg kell tudni tervezni és ki kell tudni számolni az étel elkészítéséhez szükséges alapanyagok mennyiségét és árát is.

Gasztronómia és a matek tanulás

Egészséges életmód matek tanulással

A sport és fitnesz területén is szükségünk van matekos tudásra. Megéri-e bérletet venni, vagy gazdaságosabb, ha alkalmanként fizetünk? Mennyi kalóriát vihetünk be a szervezetünkbe egy nap? Ehhez mennyi ételt fogyaszthatunk, mennyit kell sportolnunk? Aki valamilyen ételintoleranciával, betegséggel küzd, és saját maga kell elkészítse az ételeket, annak a kalórián túl, szénhidrátot, rostot, fehérjét, zsírt is kell számolnia.

Ezeken kívül a mindennapi életben alkalmazott matek tudáson kívül is hasznos a matek tanulás. A matematika ugyanis kreativitásra, logikus gondolkodásra tanít, amit az élet bármely területén lehet használni. Persze ez csak akkor igaz, ha valaki megérteni akarja a matek feladatokat, és a megoldáshoz vezető sokféle utat. Ebben az esetben fejlődnek ugyanis az előbb felsorolt képességek. A matematika megtaníthat projekteket tervezni, hiszen minden feladatmegoldás előtt átgondoljuk, megtervezzük azt. A matek tanulás közben megszokjuk, hogy egy feladat végeredményéhez többféle módon is el lehet jutni, vagyis a feladatmegoldó képességen kívül, a kreativitásunk is fejlődik.

Ha egy kicsit fejlesztei szeretnéd a matekos képességeidet, akkor a GOMATEK YouTube csatornájára feliratkozva sok feladatmegoldó videót találsz.

Nagy Éva középiskolai matektanár, matek korrepetálás

Éva

GOMATEK

Paralelogrammáról matek érettségizőknek

Paralelogrammáról matek érettségizőknek

Paralelogramma terület kerület számítás, és minden amit tudni érdemes egy érettségizőknek

A matek érettségi egyik nagy témaköre a geometria. Síkgeometriai, térgeometriai, trigonometriai, koordinátageometriai feladatok minden középszintű érettségin szerepelnek, nem is kevés pontért. Több olyan érettségi feladat volt már, amelyekben a négyszögekkel, háromszögekkel kapcsolatos tudást mérték fel. Ebben a blogbejegyzésben segítséget szeretnék nyújtani arról, hogy mit kell tudni a paralelogrammákról a matek érettségizőknek.

Paralelogramma terület kerület számítás, és minden amit a paralelogrammáról tudni érdemes egy érettségizőknek, középiskolásoknak

Mi az a paralelogramma?

A paralelogramma olyan négyszög, amelynek két-két szemközti oldala párhuzamos és egyenlő hosszú. Viccesen szólva a paralelogramma egy olyan téglalap, amit oldalba vágtak, és „eldőlt”.  Fontos ismerni a paralelogramma tulajdonságait is, hogy könnyebben meg tudjunk oldani matek feladatokat. A négyszögek, köztük a paralelogramma definíciójáról, tulajdonságairól, kerületének, területének a kiszámításáról már általános iskolában is szó volt.

A paralelogramma tulajdonságai

A paralelogramma átlói felezik egymást, de csak a speciális paralelogrammák (téglalap, négyzet) átlói egyenlők. Sokan úgy gondolják, hogy a paralelogramma átlói merőlegesen felezik egymást, de ez csak a négyzetre és a rombuszra igaz.

A paralelogramma egy négyszög, tehát belső szögeinek összege 360 fok. A  szomszédos szögeinek összege 180 fok, szemközti szögei egyenlők. Csak speciális paralelogrammánál (téglalap, négyzet) lesz az igaz, hogy minden szöge egyenlő, azaz derékszög.

A paralelogramma középpontosan szimmetrikus négyszög, szimmetriaközéppontja az átlók metszéspontja, ami a lenti ábrán narancssárgával van jelölve. De a paralelogramma nem tengelyesen szimmetrikus. Ez azt jelenti, hogy nincs olyan egyenes, amely mentén összehajtva a paralelogrammát, fedésbe kerül.

Paralelogramma kerület számítás matek érettségizőknek

Paralelogramma kerület, terület számítás

Mivel a paralelogramma két-két szemközti oldal egyenlő hosszú, a kerületét a két oldal összegének a kétszereseként tudjuk kiszámolni. Azaz a paralelogramma kerülete: K=2(a+b). A paralelogramma terület számítás pedig úgy fog történni, hogy az oldalakat megszorozzuk a hozzá tartozó magassággal. Erről már az általános iskolai matek órákon is volt szó. A középiskolában a trigonometria témakör után egy másik területképlet is ismerté és alkalmazhatóvá válik. Az, hogy a paralelogramma területe a két oldal és a közbezárt szög szinuszának a szorzata.

Paralelogramma kerület számítás, Paralelogramma terület számítás

Feladat paralelogrammáról matek érettségizőknek, középiskolásoknak

A korábbi években már több érettségi feladat is volt, amiben paralelogramma szerepelt. Ezeknek  a feladatoknak a megoldása közben többször a korábban már említett terület- kerületképleteket kellett alkalmazni. Több olyan feladat is volt már, ahol a magasság berajzolásával keletkezett derékszögű háromszögből kellett tovább számolni. Ilyenkor a szögfüggvényeket vagy Pitagorasz tételt kellett alkalmazni. Itt most egy összetettebb paralelogrammás feladatot hoztam neked, próbáld megoldani önállóan.

Feladat: Egy paralelogramma hegyesszöge 40 fokos, területe 0,3214 négyzetméter, kerülete 3 méter. Mekkorák a paralelogramma oldalai?

Adok egy kis segítséget is a feladat megoldásához. Először is készíts egy ábrát, és írd ki az adatokat. Aztán írd ki a képleteket is. Mivel a négyszög egyik szöge van megadva a terület a két oldal és a közbezárt szög szinuszának a szorzataként számolható. Így két kétismeretlenes egyenletet kapsz, ennek az egyenletrendszernek a megoldásával kapod meg a paralelogramma oldalait.

Ha megoldottad a feladatot, akkor itt meg is nézheted a levezetését, megoldását.

Hasonló, rövid videókat találsz a YouTube csatornámon, iratkozz fel, ha matekból jól jönne egy kis segítség.

Nagy Éva középiskolai matektanár - Paralelogramma kerület terület számítás

Éva

GOMATEK

Hatékony interaktív matek tanfolyam

Hatékony interaktív matek tanfolyam

Miért hatékony az interaktív matek tanfolyam?

Egy interaktív matek tanfolyam azért hatékony mert, ahogy a nevében is benne van aktivitást vár el. Az aktív tanulás következménye pedig az, hogy sokkal nagyobb eredményt lehet elérni. Már mindenki tudja tapasztalatból is, ha valamilyen információt csak passzívan nézünk vagy hallunk, akkor abból a későbbiekben 20-30 százalékot jegyzünk meg. Ugyanakkor, ha passzív szemlélődés helyett az információt úgy próbáljuk megtanulni, hogy a tanulás folyamatában mi is részt veszünk, akkor annak az információnak később akár a 90% át is megjegyezhetjük.

Miért hatékony az interaktív matek tanfolyam?

A passzív tanulás unalmas

Azt is sokan tapasztalták már, ha csak egy egyszerű videós tananyagot néznek, akkor nagyon hamar elfáradnak és elvesztiek a koncentráció képességüket. Könnyen elkalandozik a gondolatuk, nehezen tudnak figyelni akkor is, ha olvasnak egy írott anyagot. Ez ahhoz vezet, hogy nem lesz elég hatékony és eredményes a tanulásuk.

Ma már nemcsak a fiatalabb generációk tagja, hanem az X generációsok is úgy végeznek feladatokat, hogy egyszerre párhuzamosan több dolgot csinálnak. Ne csodálkozzunk, ha a középiskolás diákok számára nem elég figyelemfelkeltő, érdekes egy hagyományos videós tananyagból tanulni.

Az interaktivitás érdekes

Az egyszerű, hagyományos videók nem jönnek be a mai diákoknak,  mert könnyen elvesztik közben a figyelmet, és így nehéz a segítségükkel tanulni. Valami más módszert kell kitalálni, ami figyelemmegtartó, érdekes, és hatékony. Ez a módszer az interaktív tanulás.

Az interaktív tanulás azért érdekes mert változatos, és igényli azt, hogy a tanuló aktívan részt vegyen a tanulási folyamatban. Így közben nemcsak passzív elszenvedője a tanulásnak a diák, hanem aktívan alakítja a tanulás folyamatát is. Számos, apró kérdéssel változatossá, érdekessé tehető a tanulás még egy unalmasnak gondolt, nehéz tantárgy esetében is, mint a matek. Ezeknek a kérdéseknek a megválaszolása nemcsak a figyelmet tartja fent, hanem a tanulás hatékonyságát is növeli, az állandó visszakérdezéssel.

Milyen egy interaktív matek tanfolyam? 

Begyakoroltatja és megtanítja a tananyagot, emellett pedig a folyamatos visszajelzéssel motiválja, tanulásra ösztönzi a diákokat. Minden feladat sok-sok részkérdésből áll, amikre a feladat megoldása közben kell válaszolni. Természetesen csak akkor lehet jó választ adni, ha a feladatot a tanuló megoldja. Így nem rögtön egy nehéz feladatot kap a diák, hanem könnyebb részkérdéseket.

Ez több szempontból is hatékony és hatásos, egyrészt nem veszíti el a diák a motivációját, az önbizalmát már a feladat elején. Nagyobb bátorsággal kezd neki a megoldásnak, hiszen egy egyszerű feladatot könnyebb megoldani, mint egy átláthatatlannak tűnőt. Másrészt pedig a részkérdések segítségével megtanulható egy nehezebb, sok pontos feladat megoldási terve is, az hogyan lehet elindulni a feladatmegoldással.

interaktív matek tanfolyam

A matematika tanítás egyik célja a rendszerben gondolkodás megtanítsa. A matematika megtanít átlátni a problémákat és segít kialakítani a probléma megoldásához vezető utat.  Az interaktív matek feladatokból ezt lehet megtanulni, így olyan képességekre lehet szert tenni, amelyek az érettségi után is bármikor használhatók.

Ráadásul ezek a feladatok úgy vannak felépítve, hogy minden részkérdésnél a helyesen adott válasz után pozitív, dicsérő üzenetet kap a diák. Ezáltal növelhető az önbizalom, ami nagyon fontos hiszen a legtöbb diákot a matek tanulás során már számos kudarcért. Az állandó dicséretekkel pedig a korábbi kudarcok felülírhatók.

Milyen egy interaktív matek tanfolyam?

Összegezve

Az interaktív matek tanfolyamok azért hatékonyak mert a tanuló aktivitására építve, nemcsak a tananyagot tanítják meg. A tananyag elsajátítása mellett megtanít rendszerben gondolkodni, folyamatot felépíteni, növeli a problémamegoldó képességet. Ezzel a módszerrel számos kompetencia fejleszthető, ami később az élet bármely területén előnyt jelent. Nem utolsó sorban pedig az is nagyon fontos, hogy motivál, hiszen érdekesebb változatosabb így a tanulás. Az önbizalmat is fejleszti a rendszeres, pozitív megerősítéssel, visszajelzéssel. Aki nem csak az érettségin akar túl lenni, hanem fontos számára a munkavállaláshoz szükséges készségek elsajátítása is, az mindenképpen interaktív tanfolyamon készüljön a matek érettségire.

Nagy Éva középiskolai matektanár

Éva

GOMATEK

Koordinátageometria a matek érettségin

Koordinátageometria a matek érettségin

Koordinátageometria a matek érettségin

A koordinátageometria az egyik legnehezebb témakör volt a korábbi középszintű matek érettségiken. Talán azért is mert elégé szerteágazó, korábbi tudást igényel. Jól kell tudni a geometriai alapfogalmakat, és biztosan kell tudni egyenleteket, egyenletrendszereket megoldani. A koordinátageometria feladatokkal az eddigi matek érettségiken összességében elég sok pontot lehetett szerezni, vagy éppen veszteni. Voltak néhány pontos feladatok is ebből a témakörből  az érettségi első részében. De sok összetettebb, nehezebb, több pontos koordinátageometriai feladat is megjelent a korábbi években. Ez azonban sokak örömére megváltozik, az új vizsgakövetelmények szerint ugyanis a koordinátageometria szerepe lényegesen csökken a következő vizsgaidőszaktól.

Koordinátageometria a matek érettségin

Matek érettségi változások koordinátageometriából

Ahogy azt már korábban részleteztem egy másik blogbejegyzésben, sok-sok változás várható a következő érettségitől matekból is. Most nézzük meg, hogy a koordinátageometria témakört ezek a változások milyen módon érintik. Röviden összefoglalva, lényegesen csökken a vizsgán elvárt, megtanulandó ismeretanyag. Itt ugyanis nem új tanagyagot hoztak be, hanem elég komolyan megvágták az eddig megtanulandó tananyagot.

Nem kell tudni például kiszámolni két vektor skalárszorzatát, és vektorokat elforgatni 90 fokkal sem kell.  Ez utóbbi azért nem kellhet már, mert egyenes egyenletét nem normál- vagy irányvektorral, hanem meredekséggel kell tudni felírni. Bár tapasztalatom szerint sok iskolában még mindig inkább a vektorokkal tanítják az egyenesek egyenletének a felírását. A pontok esetében gyakorlatilag csak a felezőpont koordinátáit kell tudni kiszámolni, nem kell ismerni a súlypont, a harmadolópont és az osztópont koordinátáinak a kiszámítási módját. A körrel kapcsolatos feladatok is lényegesen lecsökkentek, gyakorlatilag csak a kör egyenletét kell felírni. Olyan csúnya dolgokat már nem kell ismerni, hogy mikor lehet egy másodfokú kétismeretlenes egyenlet kör egyenlete. Kör és egyenes metszéspontjával, kör érintőjével kapcsolatos feladatok sem lesznek már az érettségin.

matek érettségi felkészítő
Videós matematika kurzus 12. évfolyam részére, havi előfizetéssel

Milyen feladatok várhatók 2024-től a matek érettségin koordinátageometriából?

Most már látjuk, hogy elég sok minden kimarad a koordinátageometriából, nézzük meg, hogy akkor mégis milyen feladattípusok lehetnek a következő érettségitől. Véleményem szerint ez a témakör leginkább az érettségi I. részében szerepelhet, amiért néhány pontot lehet szerezni. Esetleg a második részben egy összetettebb feladat egyik alkérdéseként lehet majd még találkozni koordinátageometria feladatokkal, szintén csak néhány pontért.

Lehet számítani vektoros feladatra, vektorok összegének, különbségének, skalárral való szorzatának koordinátáinak kiszámítására. Ha adott egy vektor kezdő-és végpontjának koordinátái, akkor fel kell tudni írni a vektor koordinátáit, és a vektor abszolútértékét. Kérdezhetik két pont távolságának, azaz egy szakasz hosszának a kiszámolását, és a szakasz felezőpontjának koordinátáit. Ezeket leginkább könnyű pár pontos feladatban tudom elképzelni. Mint ahogy a kör egyenletének a felírását is. Az egyenes egyenletének a felírása megint nem nehéz feladat, de a párhuzamossággal, merőlegességgel, metszéspont kiszámolásával kapcsolatban már lehet nehezebb feladat is. Ezek a példák a korábbi évek tapasztalatai alapján várhatóan több alkérdésből állnak majd, vagyis nem hosszú sok pontos feladatok, hanem több egyszerűbb részekből álló feladatok.

Jó tanács érettségizőknek

A sok változás miatt a korábbi évek érettségi feladatai helyett egy olyan tananyagot ajánlok, amely az érettségi legújabb követelményei szerint készült. Ha ebből tanulsz, akkor nem gyakorolsz olyan feladatokat, amik már nem lesznek, de mindent megtanulsz, ami lehet a vizsgán. Itt pedig egy videón megnézhetsz egy korábbi érettségi feladat megoldását, remélem ez is segít neked a felkészülésben.

Matek korrepetálás

Éva

GOMATEK

Derékszögű háromszögek

Derékszögű háromszögek

Derékszögű háromszögekről középiskolásoknak, érettségizőknek + videó

Azt mindenki tudja, legfeljebb ilyen szépen nem tudja megfogalmazni, hogy a háromszög egy olyan síkidom, amelynek három csúcsa, három oldala és három szöge van. A háromszögeket szögeik és oldalaik szerint tudjuk csoportosítani. Oldalak szerint általános, egyenlő szárú illetve egyenlő oldalú, azaz szabályos háromszögekről beszélhetünk, szögek szerint pedig hegyesszögű, derékszögű és tompaszögű háromszögek vannak. Ebben az írásban a derékszögű háromszögekről lesz szó, amiről minden középiskolásnak, érettségire készülőnek tudnia kell.

derékszögű háromszög

Mi is az a derékszögű háromszög

A derékszögű háromszög olyan háromszög, amelynek az egyik szöge derékszög a másik két szöge pedig hegyesszög. Mivel egy háromszög belső szögeinek összege 180 fok ezért a két hegyesszög összege 90 fok. A derékszögű háromszög derékszöggel szemközti oldalát átfogónak, a derékszög két szárát pedig befogónak nevezzük. Nagyon fontos tudni ezeket az oldalakat megkülönböztetni egymástól, hiszen a derékszögű háromszögeknél alkalmazható Pitagorasz tétel felírásához nélkülözhetetlen tudni, hogy melyik oldala befogó és melyik az átfogó.

Feladatok a matek érettségin derékszögű háromszögekről

A derékszögű háromszögek a matematika középszintű érettségi számos feladatában előfordulhatnak. Ha például egy derékszögű háromszög valamelyik oldalát kell kiszámolni úgy, hogy a másik két oldal meg van adva, akkor a Pitagorasz tételt kell használni. Ha egy derékszögű háromszög egyik szöge van megadva, vagy egyik szöget keresünk és ezen kívül még oldalakat ismerünk, akkor valamelyik szögfüggvényt használhatjuk a feladat megoldása során. A korábbi matek középszintű érettségiken tudni kellett alkalmazni a befogó- és magasságtételt is. A 2024 május után érettségizőknek ezt már nem kell ismerniük. A matek érettségin előfordulhat olyan derékszögű háromszöges feladat is, amelyben nem Pitagorasz tételt, vagy szögfüggvényeket kell alkalmazni, hanem Thálész tételt.

GOMATEK matek tanfolyam 12. évfolyam-matekérettségi felkészítő
eredményes matek tanulás

Síkidomokban megjelenő derékszögű háromszögek

A Pitagorasz tételt vagy a szögfüggvényeket különböző speciális négyszögeknél, szabályos sokszögeknél, kör érintőnél is tudni kell alkalmazni. Például egy trapéz esetén, ha a rövidebb alap és a szár metszéspontjából berajzoljuk a magasságot, akkor ott is keletkezik egy derékszögű háromszög. De tudjuk azt is, hogy a rombusz átlói merőlegesen felezik egymást, tehát ott is lesznek derékszögű háromszögek. A deltoid szimmetria átlója is merőlegesen felezi a másik átlót, vagyis itt is vannak derékszögű háromszögek. Sőt, ha egyenlő szárú vagy egyenlő oldalú háromszögnek a magasságát rajzoljuk meg, akkor két-két egybevágó derékszögű háromszög fog keletkezni.  Erről itt nézhetsz meg egy feladatmegoldó videót. Ezekből a derékszögű háromszögekből már kiszámolhatók Pitagorasz tétellel vagy szögfüggvényekkel, a hiányzó adatokat. Hasonlóképpen derékszögű háromszögeket kapunk, ha berajzoljuk a téglalapnak vagy a négyzetnek az átlójait. A szabályos sokszögeknél pedig az előbb már említett egyenlő szárú, vagy szabályos háromszögeket keressük, ott lesznek derékszögű háromszögek.

Derékszögű háromszögek kerülete, területe

Természetesen, a háromszögeknek, illetve speciális négyszögeknek a területét kerületét is ki kell tudni számolni az érettségizőknek, középiskolás diákoknak. Derékszögű háromszög kerülete az oldalak hosszának az összege. A területe pedig a két befogó szorzatának a fele, ugyanis az egyik befogója a másik befogóhoz tartozó magasság. De nagyon fontos, hogy ez csak derékszögű háromszögek esetén teljesül.

Természetesen az elméleti tudás nem lesz elegendő a matek érettségin, de interaktív videókból gyakorolva jó eredményt lehet elérni a dolgozatokba, érettségin.

matek korrepetálás

Éva

GOMATEK

Az új matek érettségi

Az új matek érettségi

Az új matek érettségi változások

Talán már minden érintett tudja, hogy 2024 májusától változnak az érettségi vizsgakövetelmények. Matekból is több módosítás történt. De milyen lesz az új matek érettségi? Mint minden változás félelmetes és legtöbbször negatív érzéseket vált ki.

Új matematika érettségi feladatok ismertetése

Milyen matek érettségi változások várhatók?

Szinte minden témakörben lesznek kisebb nagyobb változások. Én úgy foglalnám ezt össze, hogy az új vizsgakövetelmény még inkább a kompetencia alapú tudásra helyezi a hangsúlyt. Bár az is igaz, hogy több tétel bizonyítását is ismerni kell. Az eddigi gyakorlatok és az Oktatási Hivatal által összeállított minta érettségi feladatsor alapján a középszintű írásbelin ilyen feladat nem várható. Véleményem szerint a tételek bizonyítása inkább a középszintű szóbelin várható. Középszinten szóbelizni azoknak kell, aki még nem érték el az elégséges szintjét, azaz a 25 pontot, de már legalább 13 pontot megszereztek. Visszatérve az írásbeli várható változásokra, erről ebben a korábbi blogbejegyzésemben részletesen beszámolok. Ebből megtudható, hogy melyik témakörből mit vettek ki, és milyen új témakörök, feladattípusok jelentek meg.

Nehezebb lesz az új matek érettségi?

Ez a kérdés minden diákot és szülőt foglalkoztat, nem csak azokat, akik az idén érintettek a témában. Egyrészt a most érettségizőknek biztos, hogy nehezebb lesz, mert nem érhető el számukra közel 20 évnyi korábban már megírt feladatsor. Emiatt az úttörő jelleg miatti bizonytalanság, természetesen nem könnyíti meg a dolgukat. Ha az elmúlt évek alatt nem tanulták meg az új témaköröket (bár ilyen biztosan nem volt), akkor most ezt megtenni, szintén nehézséget okozhat úgy, hogy most már el kellene kezdeni a négy éves anyag ismétlését. Azok a tanulók, akik az elmúlt 3 és fél évben már az új követelmények alapján készültek számukra már csak a rendszerező ismétlés van hátra. Szóval a nehézséget a konkrét mintapéldák hiánya okozhatja. Egyébként pedig a véleményem szerint azoknak, akiknek jó a problémamegoldó képességük és gyakorlatorientáltak, azoknak még könnyebb is lehet az új vizsga feladatsor.

Felkészülés az új típusú matematika érettségi feladatokra
Új matek érettségi változások, hogyan készülj

Mi a könnyebbség az új matek érettségin?

Könnyebbnek azok érezhetik az új matek érettségi vizsgát, akik jó logikai képességgel rendelkeznek, megtanultak „matematikául” gondolkodni és nem ijednek meg a szöveges feladatoktól. Ugyanis az új vizsgakövetelményben nagyobb szerepet kapnak a gondolkodási műveletekből való témakörök. Új típusú matematika érettségi feladatok várhatók a nehéznek mondott valószínűségszámításból, de akinek vág az agya, és jól tudja a kombinatorikát, annak ez sem nehéz. A pénzügyi számítások is új témakör lesz, de valljuk meg őszintén erre az életben is szükség lesz. A másik nagy változás a koordinátageometriában lesz, ezt a témakört nagyon megvágták. Ebből szinte csak olyan ismeretre van szükség, ami a függvénytáblázatból kiolvasható.

Hogyan ne okozzon nehézséget az új vizsgakövetelmény matekból?

Sokan megszokták már, hogy a korábbi érettségi feladatsorokat kell végig gyakorolni, és akkor jól fog sikerülni az érettségi. Ez sajnos mostantól csak részben lesz igaz. Ki kell válogatni a korábbi feladatok közül mi az, ami már nem szerepel a követelmények között, és azokkal feleslegesen nem kell tölteni az időt. Talán ez a könnyebb. De mi van az új típusú feladatokkal? Azokat már nehezebb találni, főleg olyat, aminek a részletesen levezetett magyarázata is megvan. Ha ilyen irányú segítségre van szükség akkor a GOMATEK matematika érettségi felkészítő tanfolyamai már az új NAT szerint készültek.

Nagy Éva - ismerd meg milyen új matek érettségi változások várhatók

Éva

GOMATEK

Szinusztétel koszinusztétel

Szinusztétel koszinusztétel

Szinusztétel, koszinusztétel alkalmazása a középszintű matek érettségin

Háromszögekkel kapcsolatos feladatok minden matek érettségi feladatsorban előfordulnak. Ezekben a feladatokban a háromszög szögei, oldalai, kerülete, területe közül kell valamelyik adatot kiszámolni. A középszintű matek érettségin bármely háromszög esetében alkalmazható a szinusztétel és a koszinusztétel, ha az oldalakat vagy szögeket kell meghatározni. Azt biztosan mindenki tudja, hogy speciálisan derékszögű háromszögekben az oldalak és szögek közti összefüggésekkel való számolásra a szögfüggvényeket használhatjuk.

sikeresebb matekdolgozat szinusztétel, koszinusztétel

Szinusztétel és alkalmazása

Nézzük meg, mi is az a szinusztétel. A tétel úgy szól, hogy egy háromszög bármely két oldalának aránya egyenlő a velük szemben lévő szögek szinuszainak az arányával. Ennek a bizonyítását is ismerni kell az új követelmény szerint, bár véleményem szerint ezt az írásbeli érettségin nem kérik majd. A szinusztételt akkor lehet használni, ha ismert a háromszög két szöge (ekkor ugye a harmadik szög könnyen kiszámolható), és egy oldalának a hossza, ebben az esetben a másik oldal hosszát számolhatjuk ki. Illetve akkor is a szinusztételt hsználjuk, ha ismert a háromszög két oldalának a hossza és az egyik oldallal szemközti szög, ekkor a másik oldal hosszát számolhatjuk ki.

Koszinusztétel és alkalmazása

A koszinusztétel egy kicsit bonyolultnak tűnhet. Ez mondja ki, hogy egy háromszög egyik oldalának a négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk ennek a két oldalnak és a közbezárt szögük koszinuszának a szorzatának a kétszeresét. Elég bonyolultnak tűnik ez a megfogalmazás, de legalább a bizonyítása nem kell a középszintű érettségin. A koszinusztétel gyakorlatban akkor alkalmazható, ha ismerjük a háromszög két oldalát és az általuk bezárt szöget, és a harmadik oldalt keressük. Illetve akkor is használható a koszinusz tétel, ha a háromszögnek mindhárom oldalát ismerjük és a szögeit keressük (ilyenkor célszerű a leghosszabb oldalra felírni a kosziusztételt). A tétel felírásánál sok diáknál gondot szokott okozni, hogy melyik oldallal kezdje a felírást. Ennek eldöntésében az segít, ha megnézzük melyik szög van megadva vagy melyik szöget kell kiszámolni. Ha ez megvan, akkor az ezzel szemben lévő oldal négyzetével kell indítani a koszinusz tételt.

Matekérettségi felkészítő: szinusztétel, koszinusztétel
Matekérettségire felkészítő tanfolyam

Szinusztétel vagy koszinusztétel?

Ennek eldöntése mindig az első lépés a feladata megoldása során. Tisztázni kell, hogy mi van megadva, és mit kell kiszámolni. Majd végiggondolni az előbb felsorolt lehetőségeket, hogy mikor melyik tétel használható.  Arra figyelni kell, hogy nem elég azt tudni, hogy adott két oldal és egy szög, mert ha az adott szög az egyik oldallal szemben van, akkor a  szinusztételt tudjuk felírni, ha pedig a két oldallal közbezárt szög, akkor pedig a koszinusztételt. A szinusztétel és a koszinusztétel is benne van a függvénytáblázatban, és egy ábra is van mellette, amit javaslok figyelembe venni. Az ábra jelöléseit összhangba kell hozni a feladatban megadott jelölésekkel, és ennek megfelelően kell felírni az összefüggést. Ezután következik a behelyettesítés és a számolás. A koszinusz tételnél ha a szöget keressük célszerű a kivonás utáni kifejezést zárójelbe tenni, hogy ne felejtkezzünk meg a műveletek sorrendjéről. Tipikus hiba szokott lenni, ha erre nem figyelünk. Mindkét tételnél az eredmény kiszámításához szükség lehet magabiztos egyenlet rendezésre. Illetve tudni kell szögfüggvényeket viszakeresni, de azt már a számológépek megoldják helyettünk.

Az érettségire készülést megkönnyíti, ha az érettségi követelményeknek megfelelő tananyagot be is gyakorlod. Ehhez kevés ha csak különböző magyarázó videók megnézésével tanulsz, mert akkor az elméletet megérted, de gyakrolatban még nem biztos hogy alkalmazni is tudod a hallottakat. Önállóan kell megoldani a feladatokat, ebben segít a GOMATEK interaktív matektanfolyam, ahol az azonnali és automatikus javítás után a feladat részletes megoldása is megnézhető.

Éva

GOMATEK

Matek érettségi változások

Matek érettségi változások

Matek középszintű érettségi változások 2024 májusától

Sajnos sok érettségizőben csak most tudatosul, hogy bizony a matek érettségiben is lesznek változások 2024 májusától. Úgy gondolom, hogy a középiskolai tanárok nem hangoztatták ugyan, de az újfajta követelményeknek megfelelően tanították a diákjaikat az elmúlt 3 és fél tanévben.

A diákok megnyugtatására, azért, hogy sikeresen készüljenek fel a matek érettségire, most összeszedtem milyen változások lesznek a középszintű matek érettségin a következő vizsgaidőszaktól.

Matek érettségire felkészítő tanfolyam -változások a matek érettségin

Matek érettségi változások a halmazok, a matematikai logika, kombinatorika és a gráfok témaköréből

Pluszba bekerül, hogy tudni kell alkalmazni a logikai szitát 2-3 halmaz esetében. Ismerni kell a „kizáró vagy”-ot és használni is halmazműveletekben. Bekerült, az a mondat is, hogy „Tudjon egyszerű állításokat, tételeket bizonyítani.” Tehát elképzelhető, hogy többször lesz olyan feladat (ami már korábban is előfordult néha), hogy igazolni kell pl. számolással egy állítást. Tudni kell egy állítás megfordítását megfogalmazni. Eddig csak kettes számrendszerbe kellett tudni átírni tízes számrendszerbeli számokat, most ez kibővült és 2-tól 9-ig lehet a számrendszer alapja. És ilyen alapú számrendszerben lévő számokat is tudni kell tízesbe átírni.

 

Kikerült a követelmények közül a szükséges és elégséges feltétel alkalmazása és a teljes gráf fogalma.

interaktív matek-geometriai valószínűség-matekérettségi felkészítő
Interaktív matek feladatok

Milyen változások lesznek a matek érettségin az algebra és számelmélet témaköréből?

Ebből a témakörből elég sok minden kikerült. Egy dolgot kell tudni pluszban, méghozzá bizonyítani a hatványozás azonosságait konkrét alap és pozitív egész kitevő esetén.

Nem kell viszont tudni a logaritmus azonosságait, logaritmusos egyenleteket, másodfokú egyenletrendszereket, törtes egyenlőtlenségeket, egyenlőtlenség-rendszereket megoldani. Abszolút értékes egyenletekből is csak egyszerűbbek kellenek csak. Szintén nem kell tudni, két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalmát, kapcsolatát, használatát.

Függvények, sorozatok témakörben bekövetkező változások a matek érettségin

Ez a témakör elég nagy részben átalakult. Nem kell tudni az inverz függvény fogalmát, és nem kell tudni ábrázolni és jellemezni a harmadfokú függvényt, az abszolútérték függvényt, az elsőfokú törtfüggvényt, a trigonometrikus függvényeket, a logaritmus függvényt. A függvényjellemzésnél a periodicitás és a paritás sem kell. Az egyszerűbb függvények abszolútértéke viszont kell. A számtani és mértani sorozat összegképletének a bizonyítása is  kell. Új anyagként került be amit, tudni kell: gyűjtőjáradékot, törlesztőrészletet számolni, valamint megtakarítási, befektetési és hitelfelvételi lehetőségekkel és azok kockázati tényezőivel kapcsolatos feladatokat megoldani.

Változások a geometria témakörében

Itt sok bizonyítás került be. Bizonyítani kell az oldalfelező merőlegesek metszéspontjára, illetve a belső szögfelezők metszéspontjára vonatkozó tételt, a konvex sokszögeknél az átlók számára, a belső és külső szögösszegre vonatkozó tételeket. Ezen kívül a Pitagorasz-tételt, a Thalész-tételt és a szinusz tételt is tudni kell bizonyítani. Véleményem szerint ezeket a bizonyításokat inkább a középszintű szóbelin kérdezik (a kettesért) nem az írásbelin. Az írásbelin kérhetik a körgyűrű kerületének és területének a kiszámolását. Cserébe viszont elég sok minden nem kell. Nem kell tudni szakaszt adott arányban felosztani, szöget radiánban mérni, a magasság- és a befogótételt. A vektorokat nem kell tudni felbontani összetevőkre, skaláris szorzat sem kell, valamint a vektor 90°-os elforgatottjának koordinátáit. Szögfüggvényeknek nem kell az általánosítása csak a tompaszögek szögfüggvényeit kell tudni. A koordináta geometriából is sokkal kevesebbet kérdeznek majd. Nincs benne a követelményekben a harmadoló pont és a súlypont koordinátáinak ismerete. Az egyenes egyenletét csak meredekség segítségével kell tudni felírni.  Nem kell tudni a kétismeretlenes másodfokú egyenletből a kör középpontját és sugarát meghatározni. Nem kell tudni kiszámolni kör és egyenes metszéspontját, és a kör adott pontjában húzott érintő egyenletét sem kell felírni.

Hogyan készülj a matek érettségire? Felkészülés a matek érettségire: valószínűségszámítás a matek érettségin

Változások a valószínűségszámítás és a statisztika témaköréből a következő matek érettségitől

Ez a témakör elég sok mindennel bővült. Sodrófa (blox-pot) diagramot kell készíteni. Tudni kell választani megfelelő diagramtípust egy adathalmaz ábrázolásához, és amellett érvelni. Fel kell ismerni a grafikus manipulációt, és javítani a diagramot. Az események összegét, szorzatát, esemény komplementerét, kizáró eseményeket, független eseményeket is tudni kell alkalmazni. Előfordulhat geometriai valószínűségi példa és várható értéket is tudni kell számolni.

Mit csinálj most?

Először is úgy készülj a matek érettségire, hogy az itt felsorolt változásokat figyelembe veszed. Olyan érettségi feladatokat már ne gyakorolj, még a korábbi feladatsorokból sem, amik már kikerültek a követelmények közül. Ami még ennél is fontosabb, gyakorold be az új feladattípusokat. Ez azért nehezebb, mert ilyen érettségi feladatok még nem voltak, de ha ehhez kell segítség, akkor a GOMATEK tanfolyamai tartalmazzák a matek érettségi változásait. Ezekkel az interaktív tanfolyamokkal fel tudsz készülni az újfajta feladattípusokból is. Hogy miért tanulj az interaktív videókból, megnézheted a videóból

Éva

GOMATEK

Algebrai kifejezések a matek érettségin

Algebrai kifejezések a matek érettségin

Algebrai kifejezések a matek érettségin

Először is mi az az algebrai kifejezés? Algebrai kifejezést akkor kapunk, ha a négy alapműveletet (összeadást, kivonást, szorzást, osztást) számokra vagy betűkre végtelen sokszor alkalmazzuk. Tehát pl. (2x+5):3 ez egy algebrai kifejezés. A betűket változónak vagy ismeretlennek nevezzük, a számokat együtthatónak. A betűs kifejezések használatakor mindig meg kell adnunk, hogy az alkalmazott betűk helyére melyik számhalmaz elemeit helyettesíthetjük be. Ez a számhalmaz az alaphalmaz. Az alaphalmaznak azt a részhalmazát, amelynek elemeivel az adott műveletek a megadott betűkkel elvégezhetők az értelmezési tartomány.

aktiv_passziv_tanulás

Példák algebrai kifejezések értelmezési tartományára

Törtes algebrai kifejezés, azaz az algebrai törtkifejezés, olyan kifejezés, ahol a nevezőben is van ismeretlen. Mivel a tört nevezője nem lehet nulla, ezért a törtes kifejezéseknél mindig figyelni kell erre a kikötésre, feltételre. Tehát ebben az esetben az értelmezési tartomány az alaphalmaznak az a részhalmaza, ahol a nevező nem egyenlő nullával.

Négyzetgyökös algebrai kifejezés esetében sem a teljes alaphalmaz lesz az értelmezési tartomány. Ebben az esetben ugyanis a gyök alatti kifejezés nem lehet negatív. Illetve, ha négyzetgyökös egyenletet kell megoldani, akkor a négyzetgyök értéke sem lehet negatív.

Logaritmusos kifejezéseknél pedig a logaritmus alapja nagyobb kell legyen, mint nulla, és nem lehet egy sem, és a logaritmus utáni kifejezés is nagyobb kell legyen, mint nulla. Ezeket figyelembe véve kell meghatározni az értelmezési tartományt.

gomatek komplex csomag 11
Interaktív matek feladatok

Mit kell tudni a matek érettségin az algebrai kifejezésekről?

Korábban már olvashattál ezen a blogon arról, hogy mit kell tudni a halmazokról és kombinatorikából a matek érettségin.   Most pedig megnézzük, hogy az algebrai kifejezések témaköréből mi az érettségi követelmény. A középszintű matekérettségi követelményei szerint algebrai kifejezéssekkel műveleteket kell tudni végezni, egyszerűsíteni kell tudni az algebrai törteket. Bizonyos nevezetes azonosságokat is tudni kell alkalmazni, azaz zárójelet felbontani, illetve szorzattá alakítást is kérdezhetnek. Jó hír, hogy a nevezetes azonosságok például mindkét függvénytáblázatban benne vannak, csak az alkalmazásukat kell megtanulni. Az algebrai kifejezésekkel különösen a törtekkel a műveletek elvégzése azonban sajnos sokaknak nehezen megy. Számokkal könnyebb műveleteket végezni, hiszen ott még a törtekkel való műveletek esetében is segít a számológép.

Algebrai kifejezések a matek érettségin

Többször előfordult már a matek érettségin az egyszerűbb feladatok között algebrai törtek egyszerűsítése, nevezetes azonosságok alkalmazása, értelmezési tartomány meghatározása. Voltak olyan feladatok, ahol zárójel felbontással és összevonással kellett megadni az algebrai kifejezés értékét. Helyettesítési értéket is kellett már számolni. Ezek a feladatok néhány pontos feladatok és az érettségi első részében fordulnak elő. De a betűs kifejezésekkel egy-egy szöveges feladat, egyenlet megoldása során is kell műveleteket végezni.

Sokan idegenkednek a betűs kifejezésektől, nehezen tudnak algebrai kifejezésekkel műveleteket végezni. Talán ennek az egyik oka, hogy a számokkal is nehezebben tudnak bizonyos műveleteket elvégezni, ezért nem szeretik és nem is nagyon tudják a „betűmatekot”.

A következő videóban egy korábbi érettségi feladat megoldását láthatod, amelyben egy algebrai törtet kell egyszerűsíteni. Ha úgy érzed, hogy ennél azért több tanulásra, segítségre van szükséged, akkor a GOMATEK tanfolyamokban találsz segítséget, nem csak ebből a témakörből.

Éva

GOMATEK

Jó matek érettségi felkészítő tanfolyam

Jó matek érettségi felkészítő tanfolyam

Milyen a jó matek érettségi felkészítő tanfolyam?

Sokan sokféle érettségire felkészítő tanfolyamot kínálnak matekból is. Ezek között vannak személyes jelenlétet igénylők, illetve online tanfolyamok, kontakt órákkal vagy teljesen önálló tanulással. Mindegyiknek van előnye és hátránya is, és nem is mindegyik való mindenkinek.

 

Jó, ha a tanuló tudja, hogy melyik lehet neki a leghatékonyabb, vagy milyen szempontokat tart a legfontosabbnak, és ezek alapján válasszon. Az viszont biztos, hogy minden jó matek érettségi felkészítő tanfolyamnak van néhány közös jellemzője. Ebben az írásban ezeket beszéljük át.

aktiv_passziv_tanulás

Aktuális érettségi követelménynek megfelelő tananyagtartalom

Az eredményes felkészülés alapja, hogy tisztába legyünk azzal, mit és hogyan fognak számon kérni tőlünk. Természetesen nem a diák feladata, hogy ismerje az aktuális követelményeket, hanem az őt felkészítő tanárnak. Ez pedig nem csak akkor nagyon fontos feltétel, ha változnak a vizsgakövetelmények, mint most 2024 májusától.

 

Teljesen nyilvánvaló, hogy felesleges megtanulni olyan tananyagot, amit biztosan nem fognak kérni. Matekból például az elméletet gyakorlati feladatokban fogják a középszintű érettségin kérdezni, és nem kell majd tételt kimondani és bizonyítását leírni (ez 2005 előtt minden érettségin volt). Tehát az érettségizőknek a feladatmegoldásra kell koncentrálni a felkészülés során.

Az azonban igaz, hogy a következő érettségi időszaktól változik a követelmény matekból is. Ezzel tisztába kell lenni, mert felesleges olyan feladattípust begyakorloni, amik már kikerültek a követelmények közül. A jó matek érettségire felkészítő tanfolyam olyan gyakorló feladatokat tartalmaz, amik az új érettségin előfordulhatnak.

Az érettségire nem 1-2 hét6 hónap alatt készülnek fel a diákok, hanem a négy éves középiskolai tanulmányaik alatt, remélhetőleg az új tananyagrészt már meg is tanulták az iskolában. Ilyen új anyag a valószínűségszámítás, statisztika, pénzügyi számítások területén lehet, és több korábban előforduló témakör kikerült az új követelményből. Kevesebb hangsúlyt kap a koordinátageometria, trigonometria és a logaritmus. Ez azt jelenti, hogy ha valaki úgy készül a következő érettségire, hogy megoldja az előző évek vizsga feladatait, akkor az ott szereplő feladatok közül, már több típus nem lesz az érettségin. Szóval a hatékony és eredményes tanulás miatt elengedhetetlen tudni, milyen témakörből milyen típusfeladat lehet a májusi vizsgán.

gomatek komplex csomag 11
Interaktív matek feladatok

A jó matek érettségi felkészítő motivál és önbizalmat ad

Egy jó felkészítő nem csak az aktuális követelményekhez igazodik, nem csak matekból készít fel, nem csak a matekra koncentrál. Nagyon fontos, hogy a diák legyen a középpontba, és őt a képességeinek megfelelően segítse. Az egyik legfontosabb szempont egy jó matek érettségire felkészítő tanfolyam esetében az, hogy az hogyan képes növelni a diákok önbizalmát és motivációját. Az önbizalom a siker egyik kulcsa, és a tanfolyamnak olyan környezetet kell teremtenie, amelyben a diákok mernek kérdéseket feltenni és hibázni is. A pozitív visszajelzések és az érthető magyarázatok segítik a diákokat abban, hogy higgyenek saját képességeikben.

A motiváció szintén elengedhetetlen. Az érettségire való felkészülés hosszú folyamat, és fontos, hogy a diákok ne veszítsék el az érdeklődésüket. Egy jó tanfolyamnak inspirálnia kell a diákokat, hogy rendszeresen foglalkozzanak a tananyaggal, mert csak így tudják elérni a kívánt eredményt. Ehhez változatos és érdekes feladatokra, valamint valós életből vett, gyakorlati példákra van szükség.

Gyakorlatorientált feladatok megoldásával kell készülni a matek érettségire

Egy másik kiemelkedő jellemzője egy hatékony matek érettségire felkészítő tanfolyamnak a gyakorlatorientáltság, az, hogy feladatokat tanít megoldani. Nem elegendő csupán elméleti ismereteket tanítani, mert az érettségin a diákoknak alkalmazniuk kell a megtanult elméletet különböző feladatok megoldásában. A jó tanfolyamok gyakorlati jellegű példákat és feladatokat kínálnak, amelyek segítik a diákokat abban, hogy a lehető legtöbb pontot érjék el a matek érettségin.

Rugalmasság jellemzi a jó matek érettségire felkészítő tanfolyamot

Egy újabb kulcsfontosságú elem, amit egy jó matek érettségire felkészítő tanfolyamnak magában kell foglalnia, az a rugalmasság. A diákok különböző tanulási stílusokkal rendelkeznek, és eltérő haladási ütemtervekkel tanulnak, ezért a tanfolyamnak rugalmasnak kell lennie ahhoz, hogy alkalmazkodhasson az egyéni igényekhez és időbeosztáshoz.

Az érettségi vizsgára való felkészülés olyan időszakban zajlik, amikor a diákoknak más kötelezettségeik is vannak. Nyelvvizsgára készülnek, jól szeretnének szerepelni a szalagavatón, vezetni járnak, más tantárgyakból emelt szintű érettségire készülnek… Ezért a tanfolyamnak rugalmasnak kell lennie, hogy alkalmazkodhasson a diákok egyéni igényeihez és időbeosztásához.

Az online tanulás lehetősége, a videók visszajátszása és az egyéni haladási lehetősége, mind olyan eszközök, amelyek segítik a diákokat a tanulás személyre szabásában és a saját ütemben történő fejlődésben. Ez a rugalmasság a tanulóknak lehetőséget ad arra, hogy hatékonyabb időbeosztással jobb eredményt érjenek el.

Összegezve

Egy jó matek érettségire felkészítő tanfolyamnak tehát nem csupán az aktuális tananyagot kell pontosan lefednie, hanem megfelelő tanulási környezetet is kell teremtenie. Olyat, ahol a diákok önbizalma fejlődhet, motiváltabbak lesznek, és megtanulják alkalmazni az elméleti ismereteket a gyakorlatban. Emellett a rugalmasan segíti a tanulókat az egyéni igények és időbeosztásuk szerinti tanulásban. A jól tervezett matek érettségire felkészítő tanfolyam segíthet a diákoknak könnyebben jobb eredményt elérni a matek érettségin. Ha neked is szükséged van matekból segítségre, hogy jobban sikerüljön az érettségid, akkor tanulj jó matek érettségi felkészítő tanfolyamból tanulj.

Éva

GOMATEK