Egyenletrendszerek megoldása
Egyenleteket felső tagozatos matek órákon mindenki megtanult megoldani. Egy egyenlet megoldása grafikus vagy algebrai úton történhet. A gyakorlatban általában mérlegelv alkalmazásával szoktunk könnyen, gyorsan megoldani egyenleteket. Egyenletrendszer megoldása esetében sincs ez másképpen.
Mi az az egyenletrendszer?
Ha egy egyenletben egynél több változó, azaz ismeretlen van, akkor egyértelmű megoldásához annyi egyenletre van szükség, ahány változó van benne. Persze az is fontos, hogy ezek az egyenletek egymástól függetlenek legyenek, vagyis ne legyenek pl. egymás többszörösei. Az ilyen egyenletek egy egyenletrendszert alkotnak.
A középiskolában középszinten két egyenletből álló elsőfokú, kétismeretlenes egyenletrendszerrel foglalkozunk. Emelt szintű matek érettségire készülőknek elsőfokú, háromismeretlenes, illetve másodfokú és arra visszavezethető egyenletrendszert és exponenciális egyenletrendszert is meg kell tudni oldani. Az egyenletrendszerek is megoldhatók grafikusan és algebrai úton is.
Hogyan oldunk meg egyenletrendszert grafikusan?
Először is mindkét egyenletből külön-külön kifejezzük az y-t. Az így kapott két lineáris függvényt ábrázoljuk egy közös koordinátarendszerben. A keletkezett két egyenes metszéspontjának koordinátái lesznek az egyenletrendszer megoldásai.
A metszéspont első koordinátája az x a második koordinátája pedig az y lesz. Ezután már csak a kapott eredmény visszahelyettesítéssel történő ellenőrzése van hátra.
Az egyenletrendszerek grafikus megoldásának a hátránya, ha nem rácspontokra illeszkedik a metszéspont, akkor nem lehet pontosan leolvasni a megoldást. Valamint ennek a módszernek a használatához tisztában kell lenni a függvényábrázolással is.
Egyenletrendszer algebrai megoldása
Ha nem vagyunk benne biztosak, hogy az egyenletrendszer megoldásai egész számok lesznek, akkor nem feltétlen célszerű a grafikus megoldás. Éppen ezért ezt ritkábban is szoktuk használni. Általában egy kétismeretlenes, elsőfokú egyenletrendszert algebrai úton oldunk meg. Erre is van többféle módszer, amiket most részletesen ismertetek.
Behelyettesítő módszer
Ebben az esetben első lépésként az egyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent. Azt célszerű kifejezni, aminek az együtthatója (előtte álló szám szorzótényező) 1. Az így kapott kifejezést behelyettesítjük a másik egyenletbe, ami ezután már csak egy ismeretlent tartalmaz, ezért könnyen megoldható.
A megoldás eredményét visszaírjuk az első lépésben használt egyenlet eredeti alakjába. Ezt megoldva megkapjuk az egyenletrendszer másik ismeretlenének az értékét is. Most már csak az ellenőrzés van hátra.
Ennek a módszernek a hátránya, ha az egyenletben szereplő együtthatók egyike sem 1, akkor törtes kifejezést, egyenletet kapunk. Ennek a megoldása már bonyolultabb, nehezebb, biztos tudást igényel az algebrai kifejezések, törtek témaköréből.
Egyenlő együtthatók módszere
Először mindkét egyenletet meg kell szorozni egy 0-tól különböző számmal úgy, hogy a két egyenletben valamelyik ismeretlen együtthatói abszolút értékben megegyezzenek. Ha az együtthatók egyenlők, akkor kivonjuk egymásból a két egyenletet. Amikor egymás ellentettjei az együtthatók, akkor pedig összeadjuk a két egyenletet.
Bármelyik úton indulunk el egy egyismeretlenes egyenletet kapunk, amit megoldva, megvan az egyik ismeretlen értéke. Ezt az eredményt visszahelyettesítjük valamelyik eredeti egyenletbe, így kiszámolhatjuk a másik ismeretlen értékét is. A végén pedig itt is ellenőrzünk mindkét egyenletbe visszahelyettesítve a kapott eredményeket.
Ezzel a megoldási módszerrel olyan egyenletrendszerek is könnyebben megoldhatók, amelyekben egyik együttható sem 1. Ekkor sem kapunk ugyanis törtes egyenletet.
Összehasonlító módszer
Ennél a megoldási módszernél mindkét egyenletből ugyanazt az ismeretlent fejezzük ki. A megkapott két kifejezés egyenlő, ezért összekapcsoljuk azokat egy egyenlőségjellel. Az így keletkezett egyenlet megoldása után az egyenletrendszer egyik megoldását már meg is kaptuk. Majd ezt visszahelyettesítjük valamelyik egyenlet eredeti alakjába, és kiszámoljuk a másik, hiányzó ismeretlent is. A végén itt sem felejtkezünk meg az ellenőrzésről.
Ha ennyi elmélet után inkább a gyakorlatban néznéd meg, hogyan kell egy egyenletrendszert megoldani, akkor kattints ide. Ha pedig szeretnéd megtanulni az egyenletek, egyenletrendszerek megoldását, akkor a GOMATEK interaktív tanfolyamai ebben is segítségedre lesznek.
Éva
GOMATEK