Mértani sorozat
A nevezetes számsorozatok közül a számtani sorozatról már korábban készült egy blogcikk, ha még nem tetted, akkor mindenképpen olvasd el először azt. Ebben az írásban most arról lesz szó, mit kell tudni a mértani sorozatokról középiskolásoknak. A mértani sorozat a másik nevezetes számsorozat, amivel középiskolában megismerkednek a diákok.
A mértani sorozat egy függvény, aminek értelmezési tartománya a pozitív egész számok, értékkészlete a valós számok halmaza, mint minden számsorozatnak. Mivel a mértani sorozat számsorozat, ezért olyan függvény, ami egy „n” pozitív egész számhoz hozzárendeli az „n”-edik tagját a sorozatnak. De most nézzük meg mi különbözteti meg a mértani sorozatot a többi számsorozattól.
Mit nevezünk mértani sorozatnak?
A mértani sorozat olyan sorozat, amelyben a második tagtól kezdve bármely tag és az azt közvetlenül megelőző tag hányadosa állandó. Ezt az állandót a sorozat hányadosának vagy kvóciensének nevezzük és „q”-val jelöljük.
A mértani sorozat tagjainak meghatározása
A mértani sorozat esetében is meg tudjuk határozni a sorozat bármelyik tagját az első tag és a hányados segítségével. Ha még emlékszel rá a számtani sorozatnál ezt az első tagból és a differenciából tudtuk megtenni. Mértani sorozatnál az n-edik tagot úgy kapjuk meg az első tagból és a hányadosból, hogy az első tagot megszorozzuk a hányados „n-1”-edik hatványával. Pl. ha az 53. tagját keressük a mértani sorozatnak, akkor az első tagot összeszorozzuk a kvóciens 52. hatványával.
Ezt kell még tudni a mértani sorozatról
Egy mértani sorozatban bármely három egymást közvetlenül követő tag közül a középső elem a két szélső mértani közepe. Innen származik a sorozat elnevezése is. Két szám mértani középét úgy kapjuk meg, hogy a két szám szorzatából négyzetgyököt vonunk. Ez az állítás a számtani sorozathoz hasonlóan nemcsak három közvetlenül egymást követő tag esetén igaz. Hanem akkor is, amikor az egyik tagtól ugyanannyira jobbra és ugyanannyira balra helyezkedik el a másik két tagja a sorozatnak.
Mértani sorozat első „n” tagjának az összege
A mértani sorozat első tagjának és a hányadosának ismeretében meg tudjuk határozni az első „n” tag összegét. Ez azt jelenti, hogy nem kell kiszámolni a sorozat mind az első száz tagját, ha a sorozat első száz tagjának az összegét szeretnénk megtudni. Elég csak a lent látható képletbe behelyettesíteni, és elvégezni a műveleteket. Ez a képlet és az előbb már említett „n”-edik, vagy általános tag képlete is benne van a függvénytáblázatban.
2024-től ennek az összegképletnek a bizonyítását is tudni kell már a középszinten érettségizőknek is. Bár ezt leginkább csak az írásbeli érettségin 25 pontot el nem ért, de 12 pontot megszerzett szóbeli vizsgázóktól kérdezhetik.
Mértani sorozatok a matek érettségin
Mint szinte minden feladattípus a mértani sorozatos feladatokból is lehet pár pontos feladat a matek érettségin. De természetesen az érettségi második részében a nehezebb feladatok között is szerepelhet mértani sorozat.
Az első részes feladatok között olyanra lehet számítani, ahol a függvénytáblázatban lévő képletet kell alkalmazni. Ezeknél a feladatoknál, ha valamelyik tagját kell a mértani sorozatnak meghatározni, akkor nem csak a képletekből lehet dolgozni. Ilyen esetben minden tagot egyesével ki lehet számolni, addig míg meg nem kapjuk a kért végeredményt.
Nehezebb feladat a mértani sorozat témaköréből, amikor a függvénytáblázatban lévő képletet használva a hatványkitevőben lévő „n” az ismeretlen. Ekkor ugyanis egy exponenciális egyenletet kapunk, amit logaritmus segítségével lehet megoldani. Ezek elég sokszor nehezen szoktak menni, meg félelmetesnek is tűnnek.
Ha Te is szeretnéd jól megoldani a mértani sorozatokat a matek érettségin, akkor a GOMATEK interaktív tanfolyamot ajánlom. Ebben egy egész témakör van a segítségedre, hogy elsajátíts mindent a számtani és mértani sorozatokról.
Éva
GOMATEK