Síkidomok kerülete területe
A kerület- és területszámítással már általános iskolában megismerkednek a diákok. Ennek ellenére az érettségi előtt álló diákok közül többen bizonytalanok a geometria feladatok megoldásában. A síkidomok kerülete, területe szinte minden érettségi feladatsorban előfordul. Ebben a bejegyzésben átnézzük, hogyan számolható ki különböző síkidomok kerülete, illetve területe.
Síkidomok kerülete
A kerület szó sugallja, hogy az adott síkidomot körbe kell járni ahhoz, hogy ki tudjuk számolni a kerületet. A háromszögek, négyszögek, sokszögek kerületének kiszámolása úgy történik, hogy a síkidom oldalainak a hosszát összeadjuk. A kör kerülete az átmérőnek és a pínek a szorzata. Bár általában az átmérő helyett a képletben a sugár kétszerese szerepel. A kerület mértékegysége mm, cm, dm, m, km lehet.
Sajnos többször tapasztalom, hogy a kerület kiszámolásánál a sokszögek oldalait nem összeadják, hanem összeszorozzák. De ez hibás elgondolás, hiszen ahogy már írtam, a kerület azt jelenti, hogy az alakzatot körbejárjuk. Ekkor pedig az oldalak hosszát járjuk be, vagyis nem összeszorozni, hanem összeadni kell a sokszög oldalainak a hosszát.
Háromszögek területe
Több háromszög területképlet is ismert. Ezek közül már az általános iskola óta használja minden diák a következő összefüggést: a háromszög területe egyenlő az egyik oldal és a hozzá tartozó magasság szorzatának a felével. Ezen kívül a trigonometria témakör után már ismerős az a területképlet, amelyben két oldal szorzatának és a közbezárt szög szinuszának a szorzatának a feléből lehet kiszámolni a területet. Ezt a két képlet számos feladat megoldása során könnyen alkalmazható.
A függvénytáblázatban megtalálható még néhány képlet, ami szintén használható az érettségin. Ezek közül a T=r·s képlet segítségével a háromszög területe a félkerületének (s) és a beírható kör sugarának ( r ) a szorzatából számolható ki. Valamint a Héron-képlet is alkalmas a háromszög területének a kiszámolására a háromszög oldalainak ismeretében.
Négyszögek területe
A négyzet területe az oldalak szorzatából számolható ki, vagyis a négyzet területe a négyzet oldalának négyzete.
A téglalap területe a két oldal szorzataként számolható ki.
A paralelogrammát az egyik átlója két egybevágó háromszögre bontja, tehát a területe az egyik ilyen háromszög területének a kétszerese. Vagyis az egyik oldal és a hozzá tartozó magasság szorzataként számolható ki a terület. A két oldal szorzatának és az általuk bezárt szög szinuszának a szorzata összefüggést is lehet használni a paralelogramma területének kiszámításához.
A trapéz területét úgy kapjuk meg, ha a két alap összegének a felét megszorozzuk a magassággal.
A deltoid területe az eddigiekhez képest különlegesen számolható ki, ugyanis a deltoid területe a két átló szorzatának a fele.
A rombusz egyrészt paralelogramma, tehát a területe az oldal és a hozzá tartozó magasság szorzatából számolható ki. Illetve az oldal négyzetének és a rombusz szögének a szinuszát összeszorozva is megkapjuk a területet. Másrészt a rombusz deltoid is, vagyis az átlók szorzatát kettővel elosztva is a területét kapjuk.
Kör és a sokszögek területe
A kör, azaz a körlap területe a sugár négyzetének és pínek a szorzata.
Egy általános sokszög területe úgy számolható ki, ha háromszögekre bontjuk. A fent leírt módok egyikével kiszámoljuk a háromszögek területét, majd ezeket összeadva megkapjuk a sokszög területét.
Egy n oldalú szabályos sokszöget fel tudunk bontani n db egyenlő szárú egybevágó háromszögekre. Ezek területének az összege adja meg a sokszög területét. Szabályos hatszög esetében ezek a háromszögek nem csak egyenlő szárúak, hanem egyenlő oldalúak is. Ha a keletkezett háromszögeknek tudjuk a szárszögét és az egyik oldalát, akkor már kiszámolhatjuk a területét. Az egyenlő szárú háromszög szárai a sokszög köré írt körének a sugara. Ez azt jelenti, hogy ha a köré írt kör sugarának a négyzetét megszorozzuk a szárszög szinuszával akkor is megkapjuk egy ilyen háromszög területét.
A terület- és kerületképletek benne vannak a függvénytáblázatba. Ráadásul tartozik hozzájuk egy-egy jó ábra is a síkidomról. Az ábra értelmezése, a jelölések alkalmazása után ezek a képletek könnyen használhatók geometriai feladatok megoldásánál.
Az alábbi videóban egy geometriai érettségi feladat megoldását nézheted meg.
Éva
GOMATEK