Számtani és mértani sorozatok a középszintű matek érettségin
Számtani, mértani sorozatok minden középszintű matek érettségin voltak már korábbi években. Az érettségi változásoktól függetlenül a következő érettségin is várhatók ilyen típusú feladatok. Ezekből a feladatokból nem is kevés pontot lehet szerezni. Többször volt már az első részben egyszerű, néhány pontos sorozatos feladat. Sőt az érettségi második részében, az összetettebb feladatok között is szerepel szinte minden évben számtani vagy mértani sorozatot tartalmazó feladat.
Sorozatokról a matek érettségin
Mit is nevezünk sorozatnak? A sorozat egy olyan függvény, amelynek az értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza az értékkészlete pedig a valós számok halmaza. Egy sorozatot megadhatunk szöveges utasítással, képlettel, hozzárendeléssel, rekurzív vagy explicit módon is. Középszintű érettségin kétféle sorozattal lehet találkozni: számtani, illetve mértani sorozattal.
Mit kell tudni a számtani sorozatokról a középszintű matek érettségin?
A számtani sorozat az egy olyan sorozat, amelynek a második tagtól kezdve bármely tagja és az azt megelőző tagjának a különbsége állandó. Ezt az állandót differenciának vagy különbségnek nevezzük, és d-vel jelöljük.
Bármely számtani sorozatnál az első tagból és a differenciából megadhatjuk a sorozat bármelyik tagját, azaz az általános tagját, amit n-edik tagnak is mondunk. Ebből a két adatból ki tudjuk számolni a sorozat bármelyik további tagját, illetve meg tudjuk mondani az első n tag összegét is. Az ezekhez a számolásokhoz szükséges képletek mindegyik függvénytáblázatban megtalálhatók.
A 2024 májusától érvényes vizsgakövetelmények szerint bizonyítani is tudni kell az első n elem összegének képletét. A számtani sorozatról még jó, ha tudod, hogy az első tag kivételével bármelyik tagja a tőle szimmetrikusan, azaz ugyanannyival jobbra, mint balra lévő tagok számtani közepével egyenlő. Innen jön a neve a számtani sorozatnak.
Mit kell tudni a mértani sorozatokról a középszintű matek érettségin?
A mértani sorozat egy olyan sorozat, amelynek második tagjától kezdve bármely tagja és az azt megelőző tag hányadosa állandó. Ezt az állandót hányadosnak vagy kvóciensnek nevezzük, és q-val jelöljük.
A mértani sorozatnál is meg tudjuk mondani az első tagból és a hányadosból a sorozat bármelyik, azaz n-edik, vagyis általános tagját. Ezen kívül ezekből az adatokból ki tudjuk számolni az első n tag összegét is. Ezek a képletek is megtalálhatók a függvénytáblázatokban és itt is tudni kell bizonyítani az első n tag összegének a kiszámolását. A mértani sorozatnál az első tag kivételével bármelyik tag egyenlő a tőle jobbra vagy balra szimmetrikusan elhelyezkedő tagok mértani közepével. Ennek a sorozatnak is innen származik az elnevezése.
Számtani, mértani sorozatok feladat a matek érettségin
Az érettségin a sorozatokról szóló feladatokat meg lehet oldani a függvénytáblázatban szereplő képletek alkalmazása segítségével. De ha az első tag és a számtani sorozat különbsége van megadva és a sorozat valahányadik tagját keressük, akkor ki lehet számolni addig minden tagot. Ha az első n tag összege a kérdés, akkor ezeket a tagokat még össze kell adni. A mértani sorozatos feladatok is megoldhatók ezzel a módszerrel, ha az első tag és a hányados adott.
A következők videóban egy korábbi érettségi feladat megoldását nézheted meg a sorozatok témaköréből. Remélem segítségedre lesz a tanulásban, és a számtani, mértani sorozatok feladatokat könnyebben meg tudod oldani a matek érettségin. Ha azonban úgy érzed, ennél több segítségre lenne szükséged, akkor a GOMATEK interaktív matek tanfolyamaival megtanulhatsz önállóan matek feladatokat megoldani.
Éva
GOMATEK