Számtani sorozat

A számtani sorozat a tizenkettedikes matek tananyagnak talán az egyik legkönnyebb témaköre. A sorozatok témaköréhez a számtani sorozatokon kívül még a mértani sorozat és a pénzügyi számítások, kamatos kamat tartozik.

Egyszer egy volt tanítványom mondta, hogy a számtani sorozat könnyű tananyag, mert van három képlet, és csak ezeket kell használni. Ráadásul meg sem kell tanulni a képleteket, mert benne vannak a függvénytáblázatban, így egyszerűen csak be kell helyettesíteni az adatokat.

Na de mi is az a számtani sorozat?

Számtani sorozatnak nevezzük azt a számsorozatot, amelyben a második tagtól kezdve minden tag és az azt közvetlenül megelőző tag különbsége állandó. Ezt az állandót különbségnek vagy differenciálnak nevezzük és d betűvel jelöljük.

Számtani sorozat tagjainak meghatározása

A számtani sorozat első tagjának és a differenciának a segítségével a sorozat bármelyik tagja megadható, kiszámolható. Hiszen, ha például az első tagból és a differenciából a 23. tagot szeretnénk meghatározni, akkor az első taghoz még 22-szer hozzáadjuk a differenciát. 

Mit kell még tudni a számtani sorozatról?

Egy számtani sorozatban bármely három egymást közvetlenül követő tag közül a középső tag a két szélső számtani közepe. A számtani közép azt jelenti, hogy a két szélső tag összegének a felét vesszük. Ez az állítás nemcsak három közvetlenül egymást követő tag esetén igaz. Hanem akkor is, amikor az egyik tagtól ugyanannyira jobbra és ugyanannyira balra helyezkedik el a másik két tagja a sorozatnak. 

A számtani sorozat első n tagjának az összege 

Azt a történetet már biztosan ismered, ami Gaussról a híres matematikusról szól. Valamikor kisiskolás korában nagyon unatkozott matekórán, és persze rendetlenkedett. A tanárnő, hogy lekösse a figyelmét, és legalább egy kis ideig rend legyen, egy nehéz feladatot adott neki. A feladat az volt, hogy adja össze az egész számokat egytől százig. A tanárnő azt gondolta, hogy most egy darabig nem zavarja Gauss az órát mert, ennek a feladatnak a megoldása sok időbe telik. Ne felejtsük el, hogy abban az időben még nem volt számológép. Tehát nem tudta ezt könnyen gyorsan kiszámolni, hanem fejben, illetve írásban kellett a számolást elvégeznie. Gaussnak ehhez nem volt kedve, úgyhogy inkább elkezdett gondolkodni, és a következőre jött rá.

Ha az első és utolsó számot, aztán a második és az utolsó előtti számot és így tovább összeadja, akkor mindegyiknek az összege 101 lesz. Pontosan 50 ilyen számpárt tudott létrehozni. Vagyis rájött arra, hogy az első 100 egész szám összegét kiszámolhatja, ha ötvenszer megszorozza a 101-et. Hamarosan jelentkezett is, hogy a megoldás 5050. A tanárnő nagy meglepetésére Gauss nagyon könnyen és gyorsan megoldotta a feladatot.

Mi pedig azóta is ezt a fajta számolást használjuk egy számtani sorozat első n tagjának a kiszámolására. Vagyis úgy kapjuk meg egy számtani sorozat első n tagjának az összegét, ha az első és az utolsó tagot összeadjuk. Ezután az összeget megszorozzuk annak a felével ahány tagot összeadtunk. 

Nehezebb feladatok a számtani sorozat témaköréből

Talán a legnehezebb feladat a számtani sorozatok közül, amikor két, az első tagtól különböző tag van megadva. Ekkor ugyanis, két elsőfokú egyenletből álló egyenletrendszert kell megoldani. Erre találsz a GOMATEK YouTube csatornáján egy feladatot.

A tapasztalatok szerint a másik nehezebb feladat számtani sorozatok témakörében, amikor szöveges feladatról van szó. Ekkor nehezen találják meg a diákok, hogy mi van éppen megadva a feladatban az n-edik tag vagy az első n tag összege. Ez szokott igazán gondot okozni az érettségizőknek.

Ha szeretnéd jól megtanulni ezt a témakört is, akkor a GOMATEK interaktív tanfolyamban egy egész témakör foglalkozik ezzel.

Éva

GOMATEK