Szinusztétel, koszinusztétel alkalmazása a középszintű matek érettségin

Háromszögekkel kapcsolatos feladatok minden matek érettségi feladatsorban előfordulnak. Ezekben a feladatokban a háromszög szögei, oldalai, kerülete, területe közül kell valamelyik adatot kiszámolni. A középszintű matek érettségin bármely háromszög esetében alkalmazható a szinusztétel és a koszinusztétel, ha az oldalakat vagy szögeket kell meghatározni. Azt biztosan mindenki tudja, hogy speciálisan derékszögű háromszögekben az oldalak és szögek közti összefüggésekkel való számolásra a szögfüggvényeket használhatjuk.

Szinusztétel és alkalmazása

Nézzük meg, mi is az a szinusztétel, és milyen szinusztétel feladatok szerepelhetnek az érettségin. A tétel úgy szól, hogy egy háromszög bármely két oldalának aránya egyenlő a velük szemben lévő szögek szinuszainak az arányával. Ennek a bizonyítását is ismerni kell az új követelmény szerint, bár véleményem szerint ezt az írásbeli érettségin nem kérik majd. A szinusztételt akkor lehet használni, ha ismert a háromszög két szöge (ekkor ugye a harmadik szög könnyen kiszámolható), és egy oldalának a hossza, ebben az esetben a másik oldal hosszát számolhatjuk ki. Illetve akkor is a szinusztételt használjuk, ha ismert a háromszög két oldalának a hossza és az egyik oldallal szemközti szög, ekkor a másik oldal hosszát számolhatjuk ki.

Koszinusztétel és alkalmazása

A koszinusztétel feladatok egy kicsit bonyolultnak tűnhetnek. A tétel kimondja, hogy egy háromszög egyik oldalának a négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk ennek a két oldalnak és a közbezárt szögük koszinuszának a szorzatának a kétszeresét. Elég bonyolultnak tűnik ez a megfogalmazás, de legalább a bizonyítása nem kell a középszintű érettségin. A koszinusztétel gyakorlatban akkor alkalmazható, ha ismerjük a háromszög két oldalát és az általuk bezárt szöget, és a harmadik oldalt keressük. Illetve akkor is használható a koszinusz tétel, ha a háromszögnek mindhárom oldalát ismerjük és a szögeit keressük (ilyenkor célszerű a leghosszabb oldalra felírni a koszinusztételt). A tétel felírásánál sok diáknál gondot szokott okozni, hogy melyik oldallal kezdje a felírást. Ennek eldöntésében az segít, ha megnézzük melyik szög van megadva vagy melyik szöget kell kiszámolni. Ha ez megvan, akkor az ezzel szemben lévő oldal négyzetével kell indítani a koszinusz tételt.

Szinusztétel vagy koszinusztétel?

Ennek eldöntése mindig az első lépés a feladata megoldása során. Tisztázni kell, hogy mi van megadva, és mit kell kiszámolni. Majd végig gondolni az előbb felsorolt lehetőségeket, hogy mikor melyik tétel használható.  Arra figyelni kell, hogy nem elég azt tudni, hogy adott két oldal és egy szög, mert ha az adott szög az egyik oldallal szemben van, akkor a  szinusztételt tudjuk felírni, ha pedig a két oldallal közbezárt szög, akkor pedig a koszinusztételt. A szinusztétel és a koszinusztétel is benne van a függvénytáblázatban, és egy ábra is van mellette, amit javaslok figyelembe venni. Az ábra jelöléseit összhangba kell hozni a feladatban megadott jelölésekkel, és ennek megfelelően kell felírni az összefüggést. Ezután következik a behelyettesítés és a számolás. A koszinusz tételnél ha a szöget keressük célszerű a kivonás utáni kifejezést zárójelbe tenni, hogy ne felejtkezzünk meg a műveletek sorrendjéről. Tipikus hiba szokott lenni, ha erre nem figyelünk. Mindkét tételnél az eredmény kiszámításához szükség lehet magabiztos egyenlet rendezésre. Illetve tudni kell szögfüggvényeket visszakeresni, de azt már a számológépek megoldják helyettünk.

Az érettségire készülést megkönnyíti, ha az érettségi követelményeknek megfelelő tananyagot be is gyakorlod. Ehhez kevés ha csak különböző magyarázó videók megnézésével tanulsz, mert akkor az elméletet megérted, de gyakorlatban még nem biztos hogy alkalmazni is tudod a hallottakat. Önállóan kell megoldani a feladatokat, ebben segít a GOMATEK interaktív matektanfolyam, ahol az azonnali és automatikus javítás után a feladat részletes megoldása is megnézhető.

Éva

GOMATEK