A téglatest felszíne térfogata

A téglatesttel már nagyon korán, általános iskolában megismerkednek a diákok, de ez a test gyakran szerepel egyszerűbb érettségi feladatokban is. Sőt már a központi felvételi feladatsorban is rendszeresen előfordul téglatest felszínével, illetve térfogatával kapcsolatos nehezebb feladat.

Mi az a téglatest, mi jellemzi?

A téglatest egy egyenes hasáb, amelynek az alapja egy téglalap, a magassága pedig a téglatest harmadik oldaléle.

A téglatestet hat téglalap határolja, ezek közül kettő-kettő egymással párhuzamos síkban van, ezek egybevágó téglalapok, amelyeknek a területe megegyezik.

A téglatestnek tizenkét éle van, amelyek közül négy-négy egyenlő hosszú. Tehát három különböző hosszúságú, egy csúcsban összefutó éle van egy téglatestnek. A téglatest csúcsainak száma pedig nyolc.

A téglatest szomszédos oldallapjainak egy közös éle van, ezek a lapok derékszöget zárnak be egymással.

A téglalap minden csúcsában 3 él és 3 lap találkozik, az egy csúcsba összefutó élek és oldalak páronként merőlegesek egymásra.

Téglatest felszíne és térfogata

A téglatest felszíne

Mivel a téglatest egy egyenes hasáb, ezért a felszínét úgy számoljuk ki, hogy vesszük a határoló téglalapok területének az összegét. Egy téglalap területe a két oldal szorzatából számolható ki. Azt már tisztáztuk, hogy a téglatestnek két szemközti oldallapja azonos területű. Ez azt jelenti, hogy a téglatest felszíne: A=2(ab+ac+bc).

A téglatest térfogata

Egy test térfogatának a kiszámolásakor gyakorlatilag azt határozzuk meg, hogy mennyi levegő vagy mennyi folyadék fér bele. Ezt a téglatest esetén úgy számolhatjuk ki, hogy az egy csúcsba összefutó éleket szorozzuk össze. V=abc

téglatest felszíne térfogata

Téglatest lapátlói, testátlói

Egy téglatest oldallapjainak szemközti csúcsait összekötő szakaszokat lapátlónak nevezzük. Mivel három különböző téglalap határolja a téglatestet, ezért három különböző hosszúságú lapátlóról beszélhetünk. A téglalap egy átlóját berajzolva az két derékszögű háromszögre bontja a téglalapot. Ha ismerjük a téglalap oldaléleinek a hosszát, akkor ki tudjuk számolni az átlóját Pitagorasz tétellel. Szintén derékszögű háromszöget alkot a téglatest testátlója egy lapátlója és egy oldaléle. Ebben a derékszögű háromszögben a két befogó az él és a lapátló, az átfogó a testátló. Két ismert adatból Pitagorasz tétel segítségével ki lehet számítani a harmadik, ismeretlen adatot. Egy téglatest lapátlója két oldalél négyzetösszegéből vont négyzetgyök, a testátlója pedig a három oldalél négyzetösszegének a négyzetgyöke.

Speciális téglatestek

Ha egy téglatest alapja négyzet, azaz két oldaléle egyenlő hosszúságú, de a harmadik oldalél ettől különböző, akkor négyzet alapú egyenes hasábról beszélünk. Ha minden oldaléle egyenlő hosszú a téglatestnek, akkor pedig az a kocka.

Ezeknek a felszínét, térfogatát hasonlóképpen számoljuk ki, mint a téglatestét, azzal a különbséggel, hogy itt két-két él vagy mind a három él egyenlő hosszú. A négyzetes hasáb felszíne kétszer a négyzet területe, azaz a fedőlap és az alaplap területe, plusz a négy oldallap területe. A térfogata a három oldalél szorzata. A kockát  hat négyzetlap határolja, ezért a felszíne hatszor az oldalél négyzete, a térfogata pedig az oldalél köbe.

Ahogy a bevezetőben jeleztem többször előfordult már érettségin könnyű, pár pontos feladat, amiben téglatest felszínét vagy térfogatát kellett kiszámolni.

Hoztam is egy 3 pontos  érettségi példát erre:

Egy 100 cm x 50 cm x 50 cm belső méretű (téglatest alakú) akváriumot vízzel töltünk fel. Mennyibe kerül a feltöltéshez szükséges víz, ha 1 köbméter víz ára 220 Ft? Megoldását részletezze!

Ha megoldottad a feladatot, itt megnézheted a megoldását is.

Nagy Éva középiskolai matektanár, matek korrepetálás

Éva

GOMATEK