A másodfokú egyenlet, egyenlőtlenség:
Minden, amit tudnod kell
Másodfokú egyenlet, egyenlőtlenség nélkül nincs matek érettségi. Az új számológépek sokat segítenek a másodfokú egyenletek megoldásainak meghatározásában. Ennek ellenére a matek érettségiken minden évben vannak másodfokú egyenlettel megoldható feladatok.
Mi is az a másodfokú egyenlet?
A másodfokú egyenlet a matematikában egy olyan egyenlet, amelyben az ismeretlen legnagyobb kitevője 2. Általános alakja:
ahol az „a”, „b” és „c” valós számok és „a” nem nulla, valamint „x” az ismeretlen
A diszkrimináns, azaz a megoldások kulcsa
A diszkrimináns egy olyan kifejezés, amely meghatározza, hogy a másodfokú egyenletnek hány valós gyöke van. A diszkriminánst D-vel jelöljük és a következő képlettel számítjuk:
A diszkrimináns értéke alapján a következőket mondhatjuk a másodfokú egyenlet gyökeinek a számáról:
Ha a diszkrimináns nagyobb, mint nulla, akkor két különböző valós gyöke van az egyenletnek.
Két egybeeső valós gyöke, azaz egy valós megoldása van a másodfokú egyenletnek, ha a diszkrimináns értéke nulla.
Ha a diszkrimináns kisebb, mint nulla, akkor nincs valós gyöke van az egyenletnek.
A megoldóképlet
A másodfokú egyenlet megoldásához a következő képletet használjuk:
A másodfokú egyenlet megoldását már sok számológép is el tudja végezni, így megkönnyítve a mechanikus számolást. Az így kapott eredményt, a számolás levezetése nélkül is elfogadják a matek érettségin.
A másodfokú egyenlőtlenség megoldása
A másodfokú egyenlőtlenségek megoldása sok diáknak okoz nehézséget. A megoldás lényege, hogy a másodfokú függvény grafikonját ábrázoljuk, és leolvassuk, hogy a függvény mely x értékekre vesz fel nagyobb, kisebb vagy egyenlő értéket a 0-nál.
A másodfokú egyenlőtlenség megoldásának lépései:
1. Ábrázold a másodfokú függvény grafikonját. A parabola alakú görbe felfelé vagy lefelé nyílik attól függően, hogy az „a” paraméter pozitív vagy negatív.
2. Keresd meg a parabola és az x tengely metszéspontjait. Ezek az x értékek a másodfokú egyenlet gyökei, és a megoldáshalmaz határai lesznek.
3. Vizsgáld meg a függvény előjelét:
Ha a parabola felfelé nyílik:
– Zérushelyek között a függvény értéke negatív.
– A zérushelyek előtt és után a függvény értéke pozitív.
Ha a parabola lefelé nyílik:
– Zérushelyek között a függvény értéke pozitív.
– A zérushelyek előtt és után a függvény értéke negatív.
4. Az egyenlőtlenség alapján határozd meg, hogy a függvény mely tartományokban veszi fel a feladat által kívánt értékeket.
Egy konkrét példa a gyakorláshoz
Itt a függvényábrázolást vagy valamilyen app, program segítségével lehet megtenni, vagy teljes négyzetté alakítva kell ábrázolni a függvényt. Én a GeoGebra segítségével ábrázoltam a másodfokú függvényt.
Illetve lehet először az alábbi egyenlet megoldásait is megkeresni megoldóképlet vagy számológép segítségével.
Ennek a másodfokú egyenlenek a két megoldása az 1 és a 3.
A parabola felfelé nyílik mert az „a” pozitív, jelen esetben a=1. Ezért a kisebb zérushely előtt és a nagyobb után lesz a másodfokú egyenlőtlenség nagyobb, mint 0.
Vagyis a másodfokú egyenlőtlenség megoldáshalmaza: x<1 vagy x>3
A másodfokú egyenlet számos olyan problémában segít minket, amelyekkel a mindennapi életben találkozhatunk. A fizikától a közgazdaságtanon át a mérnöki tudományokig számos területen alkalmazható. Persze ezek már nem feltétlenül alap- vagy középszintű matematikai problémák, feladatok. A másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásának szükségessége tehát nem csak a matematikában, hanem más tudományterületeken is hasznos lehet.
Amennyiben szeretnéd gyakorolni a középszintű érettségihez szükséges anyagot a másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek témaköréből, javaslom, nézd meg ezt a videót is.
Éva
GOMATEK