Hatványozás definíciója, azonosságai
A hatványozás is egy matematikai művelet. Ha egy számot vagy kifejezést önmagával többször megszorzunk, akkor az a hatványozás. Ez a művelet nem mellesleg rövidítés is, hiszen nem kell pl. 13 db kettest szorzásjellel összekapcsolva leírni egymás mellé. Ehelyett elég egy db kettest írni és a jobb felső sarokba a 13-at. De nézzük is meg részletesen mit kell tudni egy középiskolásnak a hatványozásról.
A hatványozás fogalma
Ha „a” egy tetszőleges valós szám, az „n” pedig egy 1-nél nagyobb egész szám, akkor az „a az n-ediken” egy „n” tényezős szorzat, amelynek minden tényezője „a”.
Ezen kívül fontos információ az is, hogy bármely szám első hatványa önmaga, és egynek minden hatványa 1. Valamint bármely 0-tól különböző szám 0-dik hatványa 1. A nulla nulladik hatványát nem értelmezzük.
Negatív kitevőjű hatványok
Ha az „a” alap nullától különböző valós szám, az „n” kitevő pozitív egész szám, az „a” szám mínusz n-edik hatványa, az „a” alap reciprokának az n-edik hatványa. Azaz az alap reciprokát emeljük a kitevő ellentettjére. Ez azt jelenti, hogy eredményül akár törtet is kaphatunk.
Hatványozás azonosságai
A hatványokkal különböző műveleteket is lehet végezni. Nézzük meg, hogyan lehet ezeket a műveleteket elvégezni először azonos alapú hatványokkal. Ezután pedig a különböző alapú, de azonos kitevőjű hatványokkal való műveletek következnek majd.
Műveletek azonos alapú hatványokkal
Azonos alapú hatványokat úgy is szorozhatunk, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük. Ez azt jelenti, hogy ha 5 a másodikont megszorozzuk 5 a negyedikennel, akkor eredményül öt a hatodikont kapunk. Gondold csak végig, 2 db ötöst és 4 db ötöst összeszorzunk, akkor 6 db ötös szorzata lesz az eredmény, ez pedig „5 a 6.-on”.
Azonos alapú hatványokat úgy is oszthatunk, hogy a közös alapot a kitevők különbségére emeljük. Ha 5 a negyedikent elosztjuk 5 a másodikonnal, akkor eredményül öt a négyzetent kapunk. Az osztást törtként is felírhatjuk, így két ötössel tudunk egyszerűsíteni, hogy megkapjuk az eredményt. Azonos alapú hatványok osztásakor, az eredmény kitevője akár negatív is lehet.
Hatványt úgy is hatványozhatunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük. Ez pedig azt jelenti, ha 5 a negyedikent emeljük négyzetre, akkor 5 a negyedikent szorozzuk meg öt a negyedikennel. Vagyis 4 plusz 4 db ötöst szorzunk össze, azaz 8 ötöst. Tehát a hatványkitevő 8, a két eredeti kitevőnek a négynek és a kettőnek a szorzata.
Műveletek azonos kitevőjű hatványokkal
Azonos kitevőjű hatványokat úgy is szorozhatunk, hogy az alapok szorzatát emeljük a közös kitevőre. Vagy visszafelé, fordított irányból: egy szorzat hatványa egyenlő a tényezők hatványának a szorzatával.
Azonos kitevőjű hatványokat úgy is oszthatunk, hogy az alapok megfelelő sorrendben vett hányadosát emeljük a közös kitevőre. Vagy fordított irányból, visszafelé: hányados hatványa egyenlő a számláló hatványának és a nevező hatványának a hányadosával.
Negatív számok hatványozása
Negatív számok hatványozása ugyanúgy egy többtényezős szorzat, mint a pozitív alapú hatványozás. Itt azonban arra kell figyelni, hogy páros számú negatív szám szorzatának az eredménye pozitív lesz. Míg páratlan számú negatív számot összeszorozva az eredmény, azaz a hatványérték negatív lesz. Illetve fontos, ha negatív alapú hatványokkal kell műveletet végezni, akkor az alapot mindenképpen tegyük zárójelbe. Ellenkező esetben ugyanis a pozitív alap ellentettjéről van ugyanis szó.
Ha szeretnéd egy kicsit gyakorolni a hatványozással való műveleteket, akkor nézd meg az erről készült videót. Ha azonban komolyan gondolod a matek órákra való felkészülést, akkor viszont tanulj a GOMATEK interaktív tanfolyamaival.
Éva
GOMATEK