Kombinatorika érettségi feladatok megoldással

Kombinatorikai feladatokkal már általános iskolában is találkoznak a diákok, majd középiskolában minden évben előjönnek ezek a feladattípusok. Az érettségin is mindig van egyszerűbb, illetve összetettebb kombinatorikai feladat, és a valószínűségszámítás feladatokat is nehéz kombinatorikai ismeretek nélkül megoldani. Ebben a cikkben kombinatorika érettségi feladatok megoldással kerülnek bemutatásra.

Kombinatorika alapfogalmai

A kombinatorika alapfogalmairól, köztük lévő különbségekről, a képletekről korábban már írtam. Olvasd el először ezt az írást, hogy megtudd, mi a különbség a permutáció, variáció és kombináció között. Ha az elmélettel tisztában vagy akkor jöhetnek a feladatok.

Egyszerű kombinatorika érettségi feladatok megoldással

1. feladat

A 32 lapos magyar kártyában négy szín (piros, zöld, tök, makk), és minden színből nyolcféle lap van (VII, VIII, IX, X, alsó, felső, király, ász). Hányféleképpen tudunk a 32 kártyából egyszerre 3 lapot kihúzni úgy, hogy a piros ász köztük legyen?

Megoldás: Mivel a kiválasztott lapok között ott kell lennie a piros ásznak, azt mindenképpen ki kell húznunk. Hogy ezt meg tudjuk tenni válasszuk külön a lapokat. Az egyik csoportba kerül a kiválasztandó piros ász, a másik csoportba a többi 31 lap. A piros ászt mivel egyedül van, ezért egyféleképpen lehet kiválasztani. Ehhez kell még 2 lapot kihúzni a maradék 31 lapból. Itt most csak kiválasztunk, a sorrend nem számít. Ezt a két lapot 31 alatt a 2 féleképpen húzhatjuk ki. Ezt az eredményt kell megszorozni azzal az eggyel, ahányféleképpen a piros ászt választhatjuk ki. Az eredmény 465.

2. feladat

Négy gombóc fagylaltot vásárolunk tölcsérbe: egy csokoládét, egy vaníliát, egy puncsot és egy eperízűt. Hányféle olyan sorrendje lehetséges ennek a négy gombócnak, amelynél nem a csokoládé a legalsó?

Megoldás: Mivel az alsó gombóc nem lehet csoki, ezért oda három másikból választhatunk háromféleképpen. Mind a négy gombócból kell venni, ismétlődni nem ismétlődnek a gombócok. Valami tehát került alulra, ami nem csoki, a többi három helyre (3.; 2.; 1.;) a maradék három fagyit kell sorba rendezni. Három elemet 3! azaz 6 féleképpen lehet sorba tenni. Ezt az eredményt kell még megszorozni azzal a 3 lehetőséggel, ahányféleképpen a legalsó íz választható ki. Vagyis összesen 18 féle sorrendje lehet a megadott feltételek mellett a gombócoknak.

3. feladat

Egy futóverseny döntőjébe hat versenyző jutott, jelöljük őket A, B, C, D, E és F betűvel. A cél előtt pár méterrel már látható, hogy C biztosan utolsó lesz, továbbá az is biztos, hogy B és D osztozik majd az első két helyen. Hányféleképpen alakulhat a hat versenyző sorrendje a célban, ha nincs holtverseny? Válaszát indokolja!

Megoldás: Az utolsó helyen C egyféleképpen végezhet. Az első két hely valamelyikén B és D osztozhat kétféleképpen. Vagy a B az első és D a második, vagy pedig fordítva. A harmadik, negyedik, ötödik helyen A, E és F osztozik. Három embert 3!=6 féleképpen lehet sorba rendezni. Ezt megszorozva kettővel 12 féleképpen érhetnek célba a megadott feltételek mellett a versenyzők.

Összetettebb érettségi feladatokban kombinatorika

Az érettségi második részében szereplő nehezebb feladatok szinte mindig több részből állnak. Legtöbb esetben ezek az alkérdések még csak nem is ugyanahhoz a feladattípushoz tartoznak.

Ez nagyon vizsgázóbarát, hiszen, ha egy részét nem tudja a diák a feladatnak, attól a másik témakörhöz tartozó feladat még sikerülhet.

Többször előfordult már, hogy a kombinatorika érettségi feladatok a második részben halmazokkal, statisztikával vagy valószínűségszámítással vannak összekapcsolva. Vagyis nem egy adott témakör pl. a kombinatorika egy hosszabb, összetettebb feladatát kell megoldani, hanem két-három egyszerűbb feladatot.

Ha szeretnél még egy kicsit gyakorolni, akkor ezt a játékot javaslom.

Ha eddig nem voltál elég sikeres matekból, akkor próbáld ki ezt az új módszert ingyen.

Vagy inkább rendszeres és konkrét segítségre van szükséged, akkor a GOMATEK tanfolyamaival fejlődhetsz.

Éva

GOMATEK