Valószínűségszámítás feladatok
A valószínűségszámítás a matematikának az a területe, amely a véletlen események bekövetkezésének mértékét vizsgálja. A klasszikus valószínűségszámítást gyakran használjuk egyszerű véletlen kísérletek valószínűségének kiszámítására. Ebben a bejegyzésben a klasszikus valószínűségszámítás alkalmazását mutatom be. Illetve példákon keresztül szemléltetem, valószínűségszámítás feladatok megoldását.
A véletlen jelenségek kimenetelei, bekövetkezései az elemi események. A klasszikus valószínűségszámítás akkor alkalmazható, amikor a kísérlet összes kimenetele, vagyis az elemi események egyformán valószínűek. Sok valós életből vett helyzetben ez a feltétel nem teljesül, ezért ott más valószínűségi modelleket kell használni.
Mi a valószínűség?
A valószínűség azt fejezi ki, hogy egy bizonyos esemény mekkora eséllyel következik be. Más szavakkal, egy számmal jellemezzük, hogy mennyire valószínű, hogy egy kísérlet adott kimenetelű lesz. A valószínűség értéke egy egynél nem nagyobb pozitív szám. Egy a valószínűsége a biztos eseménynek és nulla a valószínűsége a lehetetlen eseménynek.
A klasszikus valószínűség
A klasszikus valószínűséget úgy számoljuk ki, hogy a kedvező esetek számát elosztjuk az összes eset számával. Ez az érték lesz az esemény valószínűsége. Az eseményeket nagy betűvel szoktuk jelölni, mint a halmazokat pl. A, B. A valószínűséget P-vel és utána zárójelbe beírjuk, hogy melyik eseményről van szó, tehát az A esemény valószínűségét így írjuk le: P(A).
A kedvező esetek azok az esetek, amikor az A esemény bekövetkezik, ennek a száma k. Az összes esetet, ahogy a nevében is benne van, az összes lehetséges eset, ami bekövetkezhet, ezt általában n-nel jelöljük.
Összetettebb, bonyolultabb feladatoknál, a kedvező esetek, illetve az összes eset számának kiszámolásához kombinatorikai ismeretre lehet szükség. A kombinatorikáról itt készítettem egy magyarázó, segítő blogbejegyzést. Olvasd el ezt is!
Valószínűségszámítás feladatok a mindennapi életből
1. feladat: Egy városban 20 cég van. Ezek közül 12 legalább 30 főt foglalkoztat, míg 8 cégnél 30-nál kevesebb alkalmazott van. Egy egyetemi hallgató ezek közül a cégek közül választ magának véletlenszerűen gyakorlati helyet (mindegyik cég szívesen látná gyakornokként). Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott cégben 30-nál kevesebben dolgoznak?
Megoldás: Az esemény az, hogy a kiválasztott cégben 30-nál kevesebben dolgoznak. Az összes eset, annyi ahányféleképpen ki lehet választani a 20 cég közül 1-et, ez pedig 20. A kedvező esetet úgy fogalmazhatjuk meg, hogy hányféleképpen lehet a 20 cég közül kiválasztani egyet, ahol 30-nál kevesebben dolgoznak. Mivel 8 ilyen cég van, ezért a kedvező esetek száma k=8. Az A esemény valószínűsége: P(A)=k/n=8:20=0,4. Vagyis annak a valószínűsége, hogy ez az egyetemista egy 30 főnél kevesebb alkalmazottat foglalkoztató cégnél lesz gyakornok 0,4.
Most nézzünk egy kicsit nehezebb valószínűségszámítás feladatot
2. feladat: Egy focicsapatban 21 játékos van: 2 kapus, 8 védő és 11 csatár. Mi a valószínűsége annak, hogy véletlenszerűen kiválasztott 2 játékos közül legfeljebb az egyik védő?
Megoldás: Az A esemény most az, hogy a kiválasztott 2 játékos közül legfeljebb az egyik védő. Ez azt jelenti, hogy vagy nulla, vagy egy védőt választunk ki. Az összes esetet úgy fogalmazhatjuk meg, hogy hányféleképpen lehet 21 játékosból 2-t kiválasztani. Ez egy ismétlés nélküli kiválasztás, ahol a sorrend nem számít. Tehát kombinációval lehet kiszámolni, az értéke n=210.
A kedvező eset, hogy hányféleképpen tudunk a 21 játékosból kettőt kiválasztani, hogy közülük legfeljebb az egyik védő legyen. Ezt is kombinációval számolhatjuk ki, két részre bontva. Először számoljuk ki azt, hogy hányféleképpen tudunk úgy kiválasztani két embert, hogy egyik sem védő. Ekkor a 13 nem védő közül kell 2-t választani, ez 78.
Most számoljuk ki hányféleképpen lehet úgy két játékost választani, hogy az egyik védő legyen, a másik nem. Ebben az esetben a 8 védő közül egyet nyolcféleképpen és a 13 nem védő közül egyet 13-féleképpen lehet kiválasztani. Az és szó arra utal, hogy egyszerre kell mindkettőnek teljesülni, vagyis össze kell szorozni a kapott két számot. Tehát 104 lehetőség van 2 embert választani úgy, hogy csak az egyik legyen védő.
A kedvező esetek száma az, amikor 0 vagy 1 védőt választunk. A vagy miatt az előbb megkapott értékeket össze kell adni, azaz k=182.
Annak a valószínűsége, hogy 2 olyan játékost választunk ki, akik közül legfeljebb az egyik védő: P(A)=k/n=182/210
Most te jössz! Gyakorold egy kicsit egy játékos feladatban a klasszikus valószínűség kiszámítását.
Ha pedig komolyan veszed a matektanulást, és jó jegyet szeretnél az érettségin, akkor minden témakört be kell gyakorolnod. Ebben segítségedre lesznek a GOMATEK interaktív oktatóprogramjai, amelyekből a középiskolai évfolyamok teljes anyagát be tudod gyakorolni. Megtanulhatsz önállóan feladatokat megoldani az interaktív videók és interaktív feladatlapok használatával. Ezen kívül sok nyomtatható feladatlapot, és az elméletet is le tudod tölteni. Valamint megtanulhatod a számológép használatát is.
Éva
GOMATEK