A logaritmus
A matek órák egyik „legcsúnyább”, legfélelmetesebb kifejezése a logaritmus. Sok diák itt veszti el a fonalat, és kezdi feladni a matekkal kapcsolatos terveit. Ha eddig ment is neki a matek, most ettől a fogalomtól úgy megijed, hogy teljesen bepánikol. Azt gondolja, hogy neki ez úgysem fog menni, ez számára megugorhatatlan feladat. Próbáljuk meg együtt megszelídíteni a logaritmust.
A definíció
Nézzük meg először a logaritmus fogalmát. Az „a” alapú logaritmus „b” azt a „c” kitevőt jelenti, amelyre, ha „a”-t emeljük akkor pont „b”-t fogunk kapni. Tehát a logaritmusnál is itt a hatványozás. Nagyon fontos, hogy az „a”, azaz a logaritmus alapja csak pozitív szám lehet, de 1 nem lehet. A logaritmus utáni szám, tehát a „b” szintén csak pozitív szám lehet. A „c” vagyis a logaritmus értéke viszont bármilyen valós szám lehet.
A logaritmus jelölésére a log-ot használjuk, ahol alsó indexbe a logaritmus alapját írjuk. De a logaritmusok között van egy különleges logaritmus, a tízes alapú logaritmus. Ez azért is különleges, mert az írásmódja más. Itt nem írjuk az alapot és a log rövidítés helyett csak lg-t használunk.
Milyen előzetes tudás szükséges a logaritmus alkalmazásához?
A logaritmus csak akkor fog menni, ha előtte korábban az előző években a hatványozás négyzetgyökvonás és az n-edik gyökvonás fogalmai és azonosságai is mentek. Ezenkívül logaritmusos feladatok megoldása során belefuthatunk egyszerűbb exponenciális egyenletekbe is. Vagyis ezeknek a megoldását is tudni kell ahhoz, hogy a logaritmussal boldoguljunk.
Logaritmus a matek érettségin
A 2024 utáni középszintű matek érettségin a logaritmus egyre kevesebb szerepet kap. Már nem kell tudni használni a logaritmus azonosságait, és logaritmusos egyenleteket sem kell megoldani középszintű matek érettségi. Ezek mind átkerültek emelt szintre. De ki kell tudni számolni bármilyen alapú logaritmus értékét tízes alapú logaritmus segítségével.
Logaritmus és a számológép
A legtöbb számológép különösen az újabb típusú számológépek már bármilyen alapú logaritmust tudnak kezelni. A régebbi számológépek még csak a tízes alapú logaritmussal tudtak dolgozni, de az újak már akármilyen alapú logaritmust ismernek. Tehát egy újabb számológép segítségével a logaritmusos feladatok a középszintű matek érettségin nagyon könnyen megoldhatók.
Akinek viszont a számológépe nem tud tetszőleges alapú logaritmust kiszámolni, csak tízes alapút, a függvénytáblázatban lévő képletet nyugodtan segítségül hívhatja.
Példák a definíció alkalmazására
Mennyi a kettes alapú logaritmus négy?
Ez a feladat úgy is megfogalmazható, hogy kettőnek, azaz a logaritmus alapjának hányadik hatványa a négy. Hát ezt mindenki tudja, hogy kettő a másodikon a négy. Tehát kettes alapú logaritmus négy egyenlő kettővel. Ugye, hogy nem is olyan nehéz ez. Kivéve, ha ennél bonyolultabb számok vannak, például gyökök vagy törtek.
Egy másik példa: Hányas alapú logaritmus 27 lesz egyenlő hárommal?
Itt ugye az a kérdés, hogy melyik az a szám amelyiknek a harmadik hatványa 27? Harmadik gyököt vonunk a 27-ből, és megkapjuk, hogy ez a három. Tehát hármas alapú logaritmus 27 lesz egyenlő hárommal.
Most nézzük mi van akkor, ha az a kérdés, hogy az ötös alapú logaritmus mennyi lesz egyenlő hárommal?
Itt pedig ugye az a kérdés, hogy 5-nek mennyi a harmadik hatványa? Ötnek a harmadik hatványa 125, vagyis ötös alapú logaritmus 125 lesz egyenlő hárommal.
Milyen feladatokban használható a logaritmus?
A logaritmus középszintű érettségin előfordulhat egyszerű definíció szintjén, amilyen feladatokat az előbb már megoldottunk. De egyszerűbb exponenciális egyenletek megoldásának a során is kell használni a logaritmus definícióját. Illetve az olyan szöveges feladatoknál, amelyek exponenciális egyenlettel írhatók fel, ott is előjön a logaritmus.
Tipikus ilyen életből vett feladat, amikor kamatos kamatszámításnál az éveket kell meghatározni. Például hány évre tegyük be a bankba a pénzünket, hogy 8%-os kamatos kamat mellett a dupláját kapjuk vissza.
Ha egy picit szeretnéd még gyakorolni a logaritmust, akkor ajánlom, hogy nézd meg ezt a videót, és iratkozz fel a GOMATEK YouTube csatornára.
Inkább ennél komolyabb és rendszeres segítségre van szükséged, akkor az interaktív videós tanfolyamok fognak tudni neked segíteni
Éva
GOMATEK