Mértani sorozat

A nevezetes számsorozatok közül a számtani sorozatról már korábban készült egy blogcikk, ha még nem tetted, akkor mindenképpen olvasd el először azt. Ebben az írásban most arról lesz szó, mit kell tudni a mértani sorozatokról középiskolásoknak. A mértani sorozat a másik nevezetes számsorozat, amivel középiskolában megismerkednek a diákok.

A mértani sorozat egy függvény, aminek értelmezési tartománya a pozitív egész számok, értékkészlete a valós számok halmaza, mint minden számsorozatnak. Mivel a mértani sorozat számsorozat, ezért olyan függvény, ami egy „n” pozitív egész számhoz hozzárendeli az „n”-edik tagját a sorozatnak. De most nézzük meg mi különbözteti meg a mértani sorozatot a többi számsorozattól.

Mit nevezünk mértani sorozatnak?

A mértani sorozat olyan sorozat, amelyben a második tagtól kezdve bármely tag és az azt közvetlenül megelőző tag hányadosa állandó. Ezt az állandót a sorozat hányadosának vagy kvóciensének nevezzük és „q”-val jelöljük.

A mértani sorozat tagjainak meghatározása

A mértani sorozat esetében is meg tudjuk határozni a sorozat bármelyik tagját az első tag és a hányados segítségével. Ha még emlékszel rá a számtani sorozatnál ezt az első tagból és a differenciából tudtuk megtenni. Mértani sorozatnál az n-edik tagot úgy kapjuk meg az első tagból és a hányadosból, hogy az első tagot megszorozzuk a hányados „n-1”-edik hatványával. Pl. ha az 53. tagját keressük a mértani sorozatnak, akkor az első tagot összeszorozzuk a kvóciens 52. hatványával.

Ezt kell még tudni a mértani sorozatról

Egy mértani sorozatban bármely három egymást közvetlenül követő tag közül a középső elem a két szélső mértani közepe. Innen származik a sorozat elnevezése is. Két szám mértani középét úgy kapjuk meg, hogy a két szám szorzatából négyzetgyököt vonunk. Ez az állítás a számtani sorozathoz hasonlóan nemcsak három közvetlenül egymást követő tag esetén igaz. Hanem akkor is, amikor az egyik tagtól ugyanannyira jobbra és ugyanannyira balra helyezkedik el a másik két tagja a sorozatnak.

Mértani sorozat első „n” tagjának az összege

A mértani sorozat első tagjának és a hányadosának ismeretében meg tudjuk határozni az első „n” tag összegét. Ez azt jelenti, hogy nem kell kiszámolni a sorozat mind az első száz tagját, ha a sorozat első száz tagjának az összegét szeretnénk megtudni. Elég csak a lent látható képletbe behelyettesíteni, és elvégezni a műveleteket. Ez a képlet és az előbb már említett „n”-edik, vagy általános tag képlete is benne van a függvénytáblázatban.

2024-től ennek az összegképletnek a bizonyítását is tudni kell már a középszinten érettségizőknek is. Bár ezt leginkább csak az írásbeli érettségin 25 pontot el nem ért, de 12 pontot megszerzett szóbeli vizsgázóktól kérdezhetik.

Mértani sorozatok a matek érettségin

Mint szinte minden feladattípus a mértani sorozatos feladatokból is lehet pár pontos feladat a matek érettségin. De természetesen az érettségi második részében a nehezebb feladatok között is szerepelhet mértani sorozat.

Az első részes feladatok között olyanra lehet számítani, ahol a függvénytáblázatban lévő képletet kell alkalmazni. Ezeknél a feladatoknál, ha valamelyik tagját kell a mértani sorozatnak meghatározni, akkor nem csak a képletekből lehet dolgozni. Ilyen esetben minden tagot egyesével ki lehet számolni, addig míg meg nem kapjuk a kért végeredményt.

Nehezebb feladat a mértani sorozat témaköréből, amikor a függvénytáblázatban lévő képletet használva a hatványkitevőben lévő „n” az ismeretlen. Ekkor ugyanis egy exponenciális egyenletet kapunk, amit logaritmus segítségével lehet megoldani. Ezek elég sokszor nehezen szoktak menni, meg félelmetesnek is tűnnek.

Ha Te is szeretnéd jól megoldani a mértani sorozatokat a matek érettségin, akkor a GOMATEK interaktív tanfolyamot ajánlom. Ebben egy egész témakör van a segítségedre, hogy elsajátíts mindent a számtani és mértani sorozatokról.

Éva

GOMATEK

Egyenletrendszerek megoldása

Egyenleteket felső tagozatos matek órákon mindenki megtanult megoldani. Egy egyenlet megoldása grafikus vagy algebrai úton történhet. A gyakorlatban általában mérlegelv alkalmazásával szoktunk könnyen, gyorsan megoldani egyenleteket. Egyenletrendszer megoldása esetében sincs ez másképpen.

Mi az az egyenletrendszer?

Ha egy egyenletben egynél több változó, azaz ismeretlen van, akkor  egyértelmű megoldásához annyi egyenletre van szükség, ahány változó van benne. Persze az is fontos, hogy ezek az egyenletek egymástól függetlenek legyenek, vagyis ne legyenek pl. egymás többszörösei. Az ilyen egyenletek egy egyenletrendszert alkotnak.

A középiskolában középszinten két egyenletből álló elsőfokú, kétismeretlenes egyenletrendszerrel foglalkozunk. Emelt szintű matek érettségire készülőknek elsőfokú, háromismeretlenes, illetve másodfokú és arra visszavezethető egyenletrendszert és exponenciális egyenletrendszert is meg kell tudni oldani. Az egyenletrendszerek is megoldhatók grafikusan és algebrai úton is.

Hogyan oldunk meg egyenletrendszert grafikusan?

Először is mindkét egyenletből külön-külön kifejezzük az y-t. Az így kapott két lineáris függvényt ábrázoljuk egy közös koordinátarendszerben. A keletkezett két egyenes metszéspontjának koordinátái lesznek az egyenletrendszer megoldásai.

A metszéspont első koordinátája az x a második koordinátája pedig az y lesz. Ezután már csak a kapott eredmény visszahelyettesítéssel történő ellenőrzése van hátra.

Az egyenletrendszerek grafikus megoldásának a hátránya, ha nem rácspontokra illeszkedik a metszéspont, akkor nem lehet pontosan leolvasni a megoldást. Valamint ennek a módszernek a használatához tisztában kell lenni a függvényábrázolással is.

Egyenletrendszer algebrai megoldása

Ha nem vagyunk benne biztosak, hogy az egyenletrendszer megoldásai egész számok lesznek, akkor nem feltétlen célszerű a grafikus megoldás. Éppen ezért ezt ritkábban is szoktuk használni. Általában egy kétismeretlenes, elsőfokú egyenletrendszert algebrai úton oldunk meg. Erre is van többféle módszer, amiket most részletesen ismertetek.

Behelyettesítő módszer

Ebben az esetben első lépésként az egyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent. Azt célszerű kifejezni, aminek az együtthatója (előtte álló szám szorzótényező) 1. Az így kapott kifejezést behelyettesítjük a másik egyenletbe, ami ezután már csak egy ismeretlent tartalmaz, ezért könnyen megoldható.

A megoldás eredményét visszaírjuk az első lépésben használt egyenlet eredeti alakjába. Ezt megoldva megkapjuk az egyenletrendszer másik ismeretlenének az értékét is. Most már csak az ellenőrzés van hátra.

Ennek a módszernek a hátránya, ha az egyenletben szereplő együtthatók egyike sem 1, akkor törtes kifejezést, egyenletet kapunk. Ennek a megoldása már bonyolultabb, nehezebb, biztos tudást igényel az algebrai kifejezések, törtek témaköréből.

Egyenlő együtthatók módszere

Először mindkét egyenletet meg kell szorozni egy 0-tól különböző számmal úgy, hogy a két egyenletben valamelyik ismeretlen együtthatói abszolút értékben megegyezzenek. Ha az együtthatók egyenlők, akkor kivonjuk egymásból a két egyenletet. Amikor egymás ellentettjei az együtthatók, akkor pedig összeadjuk a két egyenletet.

Bármelyik úton indulunk el egy egyismeretlenes egyenletet kapunk, amit megoldva, megvan az egyik ismeretlen értéke. Ezt az eredményt visszahelyettesítjük valamelyik eredeti egyenletbe, így kiszámolhatjuk a  másik ismeretlen értékét is. A végén pedig itt is ellenőrzünk mindkét egyenletbe visszahelyettesítve a kapott eredményeket.

Ezzel a megoldási módszerrel olyan egyenletrendszerek is könnyebben megoldhatók, amelyekben egyik együttható sem 1. Ekkor sem kapunk ugyanis törtes egyenletet.

Összehasonlító módszer

Ennél a megoldási módszernél mindkét egyenletből ugyanazt az ismeretlent fejezzük ki. A megkapott két kifejezés egyenlő, ezért összekapcsoljuk azokat egy egyenlőségjellel. Az így keletkezett egyenlet megoldása után az egyenletrendszer egyik megoldását már meg is kaptuk. Majd ezt visszahelyettesítjük valamelyik egyenlet eredeti alakjába, és kiszámoljuk a másik, hiányzó ismeretlent is. A végén itt sem felejtkezünk meg az ellenőrzésről.

Ha ennyi elmélet után inkább a gyakorlatban néznéd meg, hogyan kell egy egyenletrendszert megoldani, akkor kattints ide. Ha pedig szeretnéd megtanulni az egyenletek, egyenletrendszerek megoldását, akkor a GOMATEK interaktív tanfolyamai ebben is segítségedre lesznek.

Éva

GOMATEK

Számtani sorozat

A számtani sorozat a tizenkettedikes matek tananyagnak talán az egyik legkönnyebb témaköre. A sorozatok témaköréhez a számtani sorozatokon kívül még a mértani sorozat és a pénzügyi számítások, kamatos kamat tartozik.

Egyszer egy volt tanítványom mondta, hogy a számtani sorozat könnyű tananyag, mert van három képlet, és csak ezeket kell használni. Ráadásul meg sem kell tanulni a képleteket, mert benne vannak a függvénytáblázatban, így egyszerűen csak be kell helyettesíteni az adatokat.

Na de mi is az a számtani sorozat?

Számtani sorozatnak nevezzük azt a számsorozatot, amelyben a második tagtól kezdve minden tag és az azt közvetlenül megelőző tag különbsége állandó. Ezt az állandót különbségnek vagy differenciálnak nevezzük és d betűvel jelöljük.

Számtani sorozat tagjainak meghatározása

A számtani sorozat első tagjának és a differenciának a segítségével a sorozat bármelyik tagja megadható, kiszámolható. Hiszen, ha például az első tagból és a differenciából a 23. tagot szeretnénk meghatározni, akkor az első taghoz még 22-szer hozzáadjuk a differenciát. 

Mit kell még tudni a számtani sorozatról?

Egy számtani sorozatban bármely három egymást közvetlenül követő tag közül a középső tag a két szélső számtani közepe. A számtani közép azt jelenti, hogy a két szélső tag összegének a felét vesszük. Ez az állítás nemcsak három közvetlenül egymást követő tag esetén igaz. Hanem akkor is, amikor az egyik tagtól ugyanannyira jobbra és ugyanannyira balra helyezkedik el a másik két tagja a sorozatnak. 

A számtani sorozat első n tagjának az összege 

Azt a történetet már biztosan ismered, ami Gaussról a híres matematikusról szól. Valamikor kisiskolás korában nagyon unatkozott matekórán, és persze rendetlenkedett. A tanárnő, hogy lekösse a figyelmét, és legalább egy kis ideig rend legyen, egy nehéz feladatot adott neki. A feladat az volt, hogy adja össze az egész számokat egytől százig. A tanárnő azt gondolta, hogy most egy darabig nem zavarja Gauss az órát mert, ennek a feladatnak a megoldása sok időbe telik. Ne felejtsük el, hogy abban az időben még nem volt számológép. Tehát nem tudta ezt könnyen gyorsan kiszámolni, hanem fejben, illetve írásban kellett a számolást elvégeznie. Gaussnak ehhez nem volt kedve, úgyhogy inkább elkezdett gondolkodni, és a következőre jött rá.

Ha az első és utolsó számot, aztán a második és az utolsó előtti számot és így tovább összeadja, akkor mindegyiknek az összege 101 lesz. Pontosan 50 ilyen számpárt tudott létrehozni. Vagyis rájött arra, hogy az első 100 egész szám összegét kiszámolhatja, ha ötvenszer megszorozza a 101-et. Hamarosan jelentkezett is, hogy a megoldás 5050. A tanárnő nagy meglepetésére Gauss nagyon könnyen és gyorsan megoldotta a feladatot.

Mi pedig azóta is ezt a fajta számolást használjuk egy számtani sorozat első n tagjának a kiszámolására. Vagyis úgy kapjuk meg egy számtani sorozat első n tagjának az összegét, ha az első és az utolsó tagot összeadjuk. Ezután az összeget megszorozzuk annak a felével ahány tagot összeadtunk. 

Nehezebb feladatok a számtani sorozat témaköréből

Talán a legnehezebb feladat a számtani sorozatok közül, amikor két, az első tagtól különböző tag van megadva. Ekkor ugyanis, két elsőfokú egyenletből álló egyenletrendszert kell megoldani. Erre találsz a GOMATEK YouTube csatornáján egy feladatot.

A tapasztalatok szerint a másik nehezebb feladat számtani sorozatok témakörében, amikor szöveges feladatról van szó. Ekkor nehezen találják meg a diákok, hogy mi van éppen megadva a feladatban az n-edik tag vagy az első n tag összege. Ez szokott igazán gondot okozni az érettségizőknek.

Ha szeretnéd jól megtanulni ezt a témakört is, akkor a GOMATEK interaktív tanfolyamban egy egész témakör foglalkozik ezzel.

Éva

GOMATEK