Matematika a mindennapokban: Hogyan segíthet a matek tanulás a mindennapi életben?

A matek tanulás rendkívül hasznos lehet a mindennapi életben, hiszen a matematikai készségek és tudás alkalmazhatók számos hétköznapi helyzetben és döntésben. Az alábbiakban kifejtem, hogyan segíthet a matek tanulás a mindennapi életben.

Pénzügyi döntésekben sokat segíthet a matek tanulás

A matematikai tudás, készségek nagy segítséget nyújtanak a pénzügyi döntések meghozatalában. Az alapvető matematikai műveletek (összeadás, kivonás, szorzás, osztás) ismerete elengedhetetlen például a családi költségvetés készítéséhez. Mindennap használjuk ezeket a kiadások, bevételek nyomon követésénél és a megtakarítások tervezésénél. Ha nagyobb értékű vásárlást (autó, ház) tervezünk, arra sokszor évekig spórolunk, vagy utána évekig fizetjük a hitel törlesztő részleteit. A hitelkamatok megértésénél és a befektetések hozamának kiszámításánál nélkülözhetetlen a kamatos kamatszámítás. Emellett az új, 2024-től életbe lévő NAT alapján minden érettségizőnek kell tudni gyűjtőjáradékot és törlesztőrészletet is számolni. Ezeknek az ismereteknek a birtokában könnyebb akár hosszútávú tudatos pénzügyi döntést hozni.

Mindennapi vásárlások, akciók

A napi, vagy heti vásárlások során számos matematikai szempontot kell figyelembe venni. Egy egyszerű vásárláskor is figyelni kell az árak összehasonlítására, a kedvezmények mértékére, az adók, szállítási és egyéb költségek hozzáadására. A százalékos kedvezmények, akciók és a kuponok alkalmazásakor is matematikai műveleteket hajtunk végre.

Épületek tervezése, felújítás, költözés és a matektanulás

Az építészet területén is elengedhetetlen a matematikai, különösen a geometriai ismeretek alkalmazása. A terület-, kerület-, térfogat- és felszínszámítási ismeretek, a jó térlátás nélkülözhetetlen egy lakásfelújításnál, építésnél.  Ezekben az esetekben meg kell tervezni az építőanyagok mennyiségét, azok költségeit, és a munkadíj mértékével növelve költségvetést kell tudni készíteni. Az alapvető geometriai ismeretek segíthetnek az új lakás berendezésének tervezésében, azaz abban, hogy a bútorok elférnek-e a rendelkezésre álló helyen.

Utazás, nyaralás tervezéséhez is elengedhetetlen a matek tanulás

Az utazás során a logikus gondolkodás, a matematikai tapasztalatok is segítenek az útvonalak tervezésében és az utazási idők becslésében. A térképek és navigációs eszközök használata során is szükség van matematikai alapokra, például a távolságok, sebességek és idők becslésére, számítására. Az utazás és a nyaralás költségeinek a megtervezése is matekos gondolkodás, tudást igényel.

Gasztronómia és a matek

A főzés során számos matematikai feladattal találkozhatunk, például az alapanyagok mennyiségének arányosításával és az adagok átszámításával. Gondoljuk csak arra, ha a recept négy személyre szól, de mi csak három személyre akarunk ételt készíteni. Matematikai tudás segíthet abban, hogy egy receptet átalakítsunk, például ha a személyek számát vagy az adagokat szeretnénk megváltoztatni. Természetesen meg kell tudni tervezni és ki kell tudni számolni az étel elkészítéséhez szükséges alapanyagok mennyiségét és árát is.

Egészséges életmód matek tanulással

A sport és fitnesz területén is szükségünk van matekos tudásra. Megéri-e bérletet venni, vagy gazdaságosabb, ha alkalmanként fizetünk? Mennyi kalóriát vihetünk be a szervezetünkbe egy nap? Ehhez mennyi ételt fogyaszthatunk, mennyit kell sportolnunk? Aki valamilyen ételintoleranciával, betegséggel küzd, és saját maga kell elkészítse az ételeket, annak a kalórián túl, szénhidrátot, rostot, fehérjét, zsírt is kell számolnia.

Ezeken kívül a mindennapi életben alkalmazott matek tudáson kívül is hasznos a matek tanulás. A matematika ugyanis kreativitásra, logikus gondolkodásra tanít, amit az élet bármely területén lehet használni. Persze ez csak akkor igaz, ha valaki megérteni akarja a matek feladatokat, és a megoldáshoz vezető sokféle utat. Ebben az esetben fejlődnek ugyanis az előbb felsorolt képességek. A matematika megtaníthat projekteket tervezni, hiszen minden feladatmegoldás előtt átgondoljuk, megtervezzük azt. A matek tanulás közben megszokjuk, hogy egy feladat végeredményéhez többféle módon is el lehet jutni, vagyis a feladatmegoldó képességen kívül, a kreativitásunk is fejlődik.

Ha egy kicsit fejlesztei szeretnéd a matekos képességeidet, akkor a GOMATEK YouTube csatornájára feliratkozva sok feladatmegoldó videót találsz.

Éva

GOMATEK

Paralelogramma terület kerület számítás, és minden amit tudni érdemes egy érettségizőknek

A matek érettségi egyik nagy témaköre a geometria. Síkgeometriai, térgeometriai, trigonometriai, koordinátageometriai feladatok minden középszintű érettségin szerepelnek, nem is kevés pontért. Több olyan érettségi feladat volt már, amelyekben a négyszögekkel, háromszögekkel kapcsolatos tudást mérték fel. Ebben a blogbejegyzésben segítséget szeretnék nyújtani arról, hogy mit kell tudni a paralelogrammákról a matek érettségizőknek.

Mi az a paralelogramma?

A paralelogramma olyan négyszög, amelynek két-két szemközti oldala párhuzamos és egyenlő hosszú. Viccesen szólva a paralelogramma egy olyan téglalap, amit oldalba vágtak, és „eldőlt”.  Fontos ismerni a paralelogramma tulajdonságait is, hogy könnyebben meg tudjunk oldani matek feladatokat. A négyszögek, köztük a paralelogramma definíciójáról, tulajdonságairól, kerületének, területének a kiszámításáról már általános iskolában is szó volt.

A paralelogramma tulajdonságai

A paralelogramma átlói felezik egymást, de csak a speciális paralelogrammák (téglalap, négyzet) átlói egyenlők. Sokan úgy gondolják, hogy a paralelogramma átlói merőlegesen felezik egymást, de ez csak a négyzetre és a rombuszra igaz.

A paralelogramma egy négyszög, tehát belső szögeinek összege 360 fok. A  szomszédos szögeinek összege 180 fok, szemközti szögei egyenlők. Csak speciális paralelogrammánál (téglalap, négyzet) lesz az igaz, hogy minden szöge egyenlő, azaz derékszög.

A paralelogramma középpontosan szimmetrikus négyszög, szimmetriaközéppontja az átlók metszéspontja, ami a lenti ábrán narancssárgával van jelölve. De a paralelogramma nem tengelyesen szimmetrikus. Ez azt jelenti, hogy nincs olyan egyenes, amely mentén összehajtva a paralelogrammát, fedésbe kerül.

Paralelogramma kerület, terület számítás

Mivel a paralelogramma két-két szemközti oldal egyenlő hosszú, a kerületét a két oldal összegének a kétszereseként tudjuk kiszámolni. Azaz a paralelogramma kerülete: K=2(a+b). A paralelogramma terület számítás pedig úgy fog történni, hogy az oldalakat megszorozzuk a hozzá tartozó magassággal. Erről már az általános iskolai matek órákon is volt szó. A középiskolában a trigonometria témakör után egy másik területképlet is ismerté és alkalmazhatóvá válik. Az, hogy a paralelogramma területe a két oldal és a közbezárt szög szinuszának a szorzata.

Feladat paralelogrammáról matek érettségizőknek, középiskolásoknak

A korábbi években már több érettségi feladat is volt, amiben paralelogramma szerepelt. Ezeknek  a feladatoknak a megoldása közben többször a korábban már említett terület- kerületképleteket kellett alkalmazni. Több olyan feladat is volt már, ahol a magasság berajzolásával keletkezett derékszögű háromszögből kellett tovább számolni. Ilyenkor a szögfüggvényeket vagy Pitagorasz tételt kellett alkalmazni. Itt most egy összetettebb paralelogrammás feladatot hoztam neked, próbáld megoldani önállóan.

Feladat: Egy paralelogramma hegyesszöge 40 fokos, területe 0,3214 négyzetméter, kerülete 3 méter. Mekkorák a paralelogramma oldalai?

Adok egy kis segítséget is a feladat megoldásához. Először is készíts egy ábrát, és írd ki az adatokat. Aztán írd ki a képleteket is. Mivel a négyszög egyik szöge van megadva a terület a két oldal és a közbezárt szög szinuszának a szorzataként számolható. Így két kétismeretlenes egyenletet kapsz, ennek az egyenletrendszernek a megoldásával kapod meg a paralelogramma oldalait.

Ha megoldottad a feladatot, akkor itt meg is nézheted a levezetését, megoldását.

Hasonló, rövid videókat találsz a YouTube csatornámon, iratkozz fel, ha matekból jól jönne egy kis segítség.

Éva

GOMATEK

Koordinátageometria érettségi feladatok

A koordinátageometria az egyik legnehezebb témakör volt a korábbi középszintű matek érettségiken. Talán azért is mert elégé szerteágazó, korábbi tudást igényel. Jól kell tudni a geometriai alapfogalmakat, és biztosan kell tudni egyenleteket, egyenletrendszereket megoldani. A koordinátageometria feladatokkal az eddigi matek érettségiken összességében elég sok pontot lehetett szerezni, vagy éppen veszteni. Voltak néhány pontos feladatok is ebből a témakörből  az érettségi első részében. De sok összetettebb, nehezebb, több pontos koordinátageometriai feladat is megjelent a korábbi években. Ez azonban sokak örömére megváltozik, az új vizsgakövetelmények szerint ugyanis a koordinátageometria érettségi feladatok szerepe lényegesen csökken a következő vizsgaidőszaktól.

Matek érettségi változások koordinátageometria feladatok területén

Ahogy azt már korábban részleteztem egy másik blogbejegyzésben, sok-sok változás várható a következő érettségitől matekból is. Most nézzük meg, hogy a koordinátageometria feladatok témakörét ezek a változások milyen módon érintik. Röviden összefoglalva, lényegesen csökken a vizsgán elvárt, megtanulandó ismeretanyag. Itt ugyanis nem új tanagyagot hoztak be, hanem elég komolyan megvágták az eddig megtanulandó tananyagot.

Nem kell tudni például kiszámolni két vektor skalárszorzatát, és vektorokat elforgatni 90 fokkal sem kell.  Ez utóbbi azért nem kellhet már, mert egyenes egyenletét nem normál- vagy irányvektorral, hanem meredekséggel kell tudni felírni. Bár tapasztalatom szerint sok iskolában még mindig inkább a vektorokkal tanítják az egyenesek egyenletének a felírását. A pontok esetében gyakorlatilag csak a felezőpont koordinátáit kell tudni kiszámolni, nem kell ismerni a súlypont, a harmadolópont és az osztópont koordinátáinak a kiszámítási módját. A körrel kapcsolatos feladatok is lényegesen lecsökkentek, gyakorlatilag csak a kör egyenletét kell felírni. Olyan csúnya dolgokat már nem kell ismerni, hogy mikor lehet egy másodfokú kétismeretlenes egyenlet kör egyenlete. Kör és egyenes metszéspontjával, kör érintőjével kapcsolatos feladatok sem lesznek már az érettségin.

Milyen koordinátageometria feladatok várhatók 2024-től a matek érettségin koordinátageometriából?

Most már látjuk, hogy elég sok minden kimarad a koordinátageometria érettségi feladatok közül, nézzük meg, hogy akkor mégis milyen feladattípusok lehetnek a következő érettségitől. Véleményem szerint ez a témakör leginkább az érettségi I. részében szerepelhet, amiért néhány pontot lehet szerezni. Esetleg a második részben egy összetettebb feladat egyik alkérdéseként lehet majd még találkozni koordinátageometria feladatokkal, szintén csak néhány pontért.

Lehet számítani vektoros feladatra, vektorok összegének, különbségének, skalárral való szorzatának koordinátáinak kiszámítására. Ha adott egy vektor kezdő-és végpontjának koordinátái, akkor fel kell tudni írni a vektor koordinátáit, és a vektor abszolútértékét. Kérdezhetik két pont távolságának, azaz egy szakasz hosszának a kiszámolását, és a szakasz felezőpontjának koordinátáit. Ezeket leginkább könnyű pár pontos feladatban tudom elképzelni. Mint ahogy a kör egyenletének a felírását is. Az egyenes egyenletének a felírása megint nem nehéz feladat, de a párhuzamossággal, merőlegességgel, metszéspont kiszámolásával kapcsolatban már lehet nehezebb feladat is. Ezek a példák a korábbi évek tapasztalatai alapján várhatóan több alkérdésből állnak majd, vagyis nem hosszú sok pontos koordinátageometria érettségi feladatok, hanem több egyszerűbb részekből álló feladatok.

Jó tanács érettségizőknek

A sok változás miatt a korábbi évek érettségi feladatai helyett egy olyan tananyagot ajánlok, amely az érettségi legújabb követelményei szerint készült. Ha ebből tanulsz, akkor nem gyakorolsz olyan feladatokat, amik már nem lesznek, de mindent megtanulsz, ami lehet a vizsgán. Itt pedig egy videón megnézhetsz egy korábbi érettségi feladat megoldását, remélem ez is segít neked a felkészülésben.

Ha pedig átfogóan szeretnél felkészülni az egyéb témakörökkel együtt, akkor a matek érettségi felkészítő tanfolyam mindenben segítségedre lesz.

Éva

GOMATEK

Szinusztétel, koszinusztétel alkalmazása a középszintű matek érettségin

Háromszögekkel kapcsolatos feladatok minden matek érettségi feladatsorban előfordulnak. Ezekben a feladatokban a háromszög szögei, oldalai, kerülete, területe közül kell valamelyik adatot kiszámolni. A középszintű matek érettségin bármely háromszög esetében alkalmazható a szinusztétel és a koszinusztétel, ha az oldalakat vagy szögeket kell meghatározni. Azt biztosan mindenki tudja, hogy speciálisan derékszögű háromszögekben az oldalak és szögek közti összefüggésekkel való számolásra a szögfüggvényeket használhatjuk.

Szinusztétel és alkalmazása

Nézzük meg, mi is az a szinusztétel, és milyen szinusztétel feladatok szerepelhetnek az érettségin. A tétel úgy szól, hogy egy háromszög bármely két oldalának aránya egyenlő a velük szemben lévő szögek szinuszainak az arányával. Ennek a bizonyítását is ismerni kell az új követelmény szerint, bár véleményem szerint ezt az írásbeli érettségin nem kérik majd. A szinusztételt akkor lehet használni, ha ismert a háromszög két szöge (ekkor ugye a harmadik szög könnyen kiszámolható), és egy oldalának a hossza, ebben az esetben a másik oldal hosszát számolhatjuk ki. Illetve akkor is a szinusztételt használjuk, ha ismert a háromszög két oldalának a hossza és az egyik oldallal szemközti szög, ekkor a másik oldal hosszát számolhatjuk ki.

Koszinusztétel és alkalmazása

A koszinusztétel feladatok egy kicsit bonyolultnak tűnhetnek. A tétel kimondja, hogy egy háromszög egyik oldalának a négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk ennek a két oldalnak és a közbezárt szögük koszinuszának a szorzatának a kétszeresét. Elég bonyolultnak tűnik ez a megfogalmazás, de legalább a bizonyítása nem kell a középszintű érettségin. A koszinusztétel gyakorlatban akkor alkalmazható, ha ismerjük a háromszög két oldalát és az általuk bezárt szöget, és a harmadik oldalt keressük. Illetve akkor is használható a koszinusz tétel, ha a háromszögnek mindhárom oldalát ismerjük és a szögeit keressük (ilyenkor célszerű a leghosszabb oldalra felírni a koszinusztételt). A tétel felírásánál sok diáknál gondot szokott okozni, hogy melyik oldallal kezdje a felírást. Ennek eldöntésében az segít, ha megnézzük melyik szög van megadva vagy melyik szöget kell kiszámolni. Ha ez megvan, akkor az ezzel szemben lévő oldal négyzetével kell indítani a koszinusz tételt.

Szinusztétel vagy koszinusztétel?

Ennek eldöntése mindig az első lépés a feladata megoldása során. Tisztázni kell, hogy mi van megadva, és mit kell kiszámolni. Majd végig gondolni az előbb felsorolt lehetőségeket, hogy mikor melyik tétel használható.  Arra figyelni kell, hogy nem elég azt tudni, hogy adott két oldal és egy szög, mert ha az adott szög az egyik oldallal szemben van, akkor a  szinusztételt tudjuk felírni, ha pedig a két oldallal közbezárt szög, akkor pedig a koszinusztételt. A szinusztétel és a koszinusztétel is benne van a függvénytáblázatban, és egy ábra is van mellette, amit javaslok figyelembe venni. Az ábra jelöléseit összhangba kell hozni a feladatban megadott jelölésekkel, és ennek megfelelően kell felírni az összefüggést. Ezután következik a behelyettesítés és a számolás. A koszinusz tételnél ha a szöget keressük célszerű a kivonás utáni kifejezést zárójelbe tenni, hogy ne felejtkezzünk meg a műveletek sorrendjéről. Tipikus hiba szokott lenni, ha erre nem figyelünk. Mindkét tételnél az eredmény kiszámításához szükség lehet magabiztos egyenlet rendezésre. Illetve tudni kell szögfüggvényeket visszakeresni, de azt már a számológépek megoldják helyettünk.

Az érettségire készülést megkönnyíti, ha az érettségi követelményeknek megfelelő tananyagot be is gyakorlod. Ehhez kevés ha csak különböző magyarázó videók megnézésével tanulsz, mert akkor az elméletet megérted, de gyakorlatban még nem biztos hogy alkalmazni is tudod a hallottakat. Önállóan kell megoldani a feladatokat, ebben segít a GOMATEK interaktív matektanfolyam, ahol az azonnali és automatikus javítás után a feladat részletes megoldása is megnézhető.

Éva

GOMATEK