A logaritmus

A matek órák egyik „legcsúnyább”, legfélelmetesebb kifejezése a logaritmus. Sok diák itt veszti el a fonalat, és kezdi feladni a matekkal kapcsolatos terveit. Ha eddig ment is neki a matek, most ettől a fogalomtól úgy megijed, hogy teljesen bepánikol. Azt gondolja, hogy neki ez úgysem fog menni, ez számára megugorhatatlan feladat. Próbáljuk meg együtt megszelídíteni a logaritmust.

A definíció

Nézzük meg először a logaritmus fogalmát. Az „a” alapú logaritmus „b” azt a „c” kitevőt jelenti, amelyre, ha „a”-t emeljük akkor pont „b”-t fogunk kapni. Tehát a logaritmusnál is itt a hatványozás. Nagyon fontos, hogy az „a”, azaz a logaritmus alapja csak pozitív szám lehet, de 1 nem lehet.  A logaritmus utáni szám, tehát a „b” szintén csak pozitív szám lehet. A „c” vagyis a logaritmus értéke viszont bármilyen valós szám lehet.

A logaritmus jelölésére a log-ot használjuk, ahol alsó indexbe a logaritmus alapját írjuk. De a logaritmusok között van egy különleges logaritmus, a tízes alapú logaritmus. Ez azért is különleges, mert az írásmódja más. Itt nem írjuk az alapot és a log rövidítés helyett csak lg-t használunk.

Milyen előzetes tudás szükséges a logaritmus alkalmazásához?

A logaritmus csak akkor fog menni, ha előtte korábban az előző években a hatványozás négyzetgyökvonás és az n-edik gyökvonás fogalmai és azonosságai is mentek. Ezenkívül logaritmusos feladatok megoldása során belefuthatunk egyszerűbb exponenciális egyenletekbe is. Vagyis ezeknek a megoldását is tudni kell ahhoz, hogy a logaritmussal boldoguljunk. 

Logaritmus a matek érettségin

A  2024 utáni középszintű matek érettségin a logaritmus egyre kevesebb szerepet kap. Már nem kell tudni használni a logaritmus azonosságait, és logaritmusos egyenleteket sem kell megoldani középszintű matek érettségi. Ezek mind átkerültek emelt szintre. De ki kell tudni számolni bármilyen alapú logaritmus értékét tízes alapú logaritmus segítségével.

Logaritmus és a számológép

A legtöbb számológép különösen az újabb típusú számológépek már bármilyen alapú logaritmust tudnak kezelni. A régebbi számológépek még csak a tízes alapú logaritmussal tudtak dolgozni, de az újak már akármilyen alapú logaritmust ismernek. Tehát egy újabb számológép segítségével a logaritmusos feladatok a középszintű matek érettségin nagyon könnyen megoldhatók.

Akinek viszont a számológépe nem tud tetszőleges alapú logaritmust kiszámolni, csak tízes alapút, a függvénytáblázatban lévő képletet nyugodtan segítségül hívhatja.

Példák a definíció alkalmazására

Mennyi a kettes alapú logaritmus négy?

Ez a feladat úgy is megfogalmazható, hogy kettőnek, azaz a logaritmus alapjának hányadik hatványa a négy. Hát ezt mindenki tudja, hogy kettő a másodikon a négy. Tehát kettes alapú logaritmus négy egyenlő kettővel. Ugye, hogy nem is olyan nehéz ez. Kivéve, ha ennél bonyolultabb számok vannak, például gyökök vagy törtek. 

Egy másik példa: Hányas alapú logaritmus 27 lesz egyenlő hárommal?

Itt ugye az a kérdés, hogy melyik az a szám amelyiknek a harmadik hatványa 27? Harmadik gyököt vonunk a 27-ből, és megkapjuk, hogy ez a három. Tehát hármas alapú logaritmus 27 lesz egyenlő hárommal.

Most nézzük mi van akkor, ha az a kérdés, hogy az ötös alapú logaritmus mennyi lesz egyenlő hárommal?

Itt pedig ugye az a kérdés, hogy 5-nek mennyi a harmadik hatványa? Ötnek a harmadik hatványa 125, vagyis ötös alapú logaritmus 125 lesz egyenlő hárommal.

Milyen feladatokban használható a logaritmus?

A logaritmus középszintű érettségin előfordulhat egyszerű definíció szintjén, amilyen feladatokat az előbb már megoldottunk. De egyszerűbb exponenciális egyenletek megoldásának a során is kell használni a logaritmus definícióját. Illetve az olyan szöveges feladatoknál, amelyek exponenciális egyenlettel írhatók fel, ott is előjön a logaritmus.

Tipikus ilyen életből vett feladat, amikor kamatos kamatszámításnál az éveket kell meghatározni.  Például hány évre tegyük be a bankba a pénzünket, hogy 8%-os kamatos kamat mellett a dupláját kapjuk vissza.

Ha egy picit szeretnéd még gyakorolni a logaritmust, akkor ajánlom, hogy nézd meg ezt a videót, és iratkozz fel a GOMATEK YouTube csatornára.

Inkább ennél komolyabb és rendszeres segítségre van szükséged, akkor az interaktív videós tanfolyamok fognak tudni neked segíteni

Éva

GOMATEK

Hatványozás definíciója, azonosságai

A hatványozás is egy matematikai művelet. Ha egy számot vagy kifejezést önmagával többször megszorzunk, akkor az a hatványozás. Ez a művelet nem mellesleg rövidítés is, hiszen nem kell pl. 13 db kettest szorzásjellel összekapcsolva leírni egymás mellé. Ehelyett elég egy db kettest írni és a jobb felső sarokba a 13-at. De nézzük is meg részletesen mit kell tudni egy középiskolásnak a hatványozásról.

A hatványozás fogalma

Ha „a” egy tetszőleges valós szám, az „n” pedig egy 1-nél nagyobb egész szám, akkor az „a az n-ediken” egy „n” tényezős szorzat, amelynek minden tényezője „a”.

Ezen kívül fontos információ az is, hogy bármely szám első hatványa önmaga, és egynek minden hatványa 1. Valamint bármely 0-tól különböző szám 0-dik hatványa 1. A nulla nulladik hatványát nem értelmezzük.

Negatív kitevőjű hatványok

Ha az „a” alap nullától különböző valós szám, az „n” kitevő pozitív egész szám, az „a” szám mínusz n-edik hatványa, az „a” alap reciprokának az n-edik hatványa. Azaz az alap reciprokát emeljük a kitevő ellentettjére. Ez azt jelenti, hogy eredményül akár törtet is kaphatunk.

Hatványozás azonosságai

A hatványokkal különböző műveleteket is lehet végezni. Nézzük meg, hogyan lehet ezeket a műveleteket elvégezni először azonos alapú hatványokkal. Ezután pedig a különböző alapú, de azonos kitevőjű hatványokkal való műveletek következnek majd.

Műveletek azonos alapú hatványokkal

Azonos alapú hatványokat úgy is szorozhatunk, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük. Ez azt jelenti, hogy ha 5 a másodikont megszorozzuk 5 a negyedikennel, akkor eredményül öt a hatodikont kapunk. Gondold csak végig, 2 db ötöst és 4 db ötöst összeszorzunk, akkor 6 db ötös szorzata lesz az eredmény, ez pedig „5 a 6.-on”.

Azonos alapú hatványokat úgy is oszthatunk, hogy a közös alapot a kitevők különbségére emeljük. Ha 5 a negyedikent elosztjuk 5 a másodikonnal, akkor eredményül öt a négyzetent kapunk. Az osztást törtként is felírhatjuk, így két ötössel tudunk egyszerűsíteni, hogy megkapjuk az eredményt. Azonos alapú hatványok osztásakor, az eredmény kitevője akár negatív is lehet.

Hatványt úgy is hatványozhatunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük. Ez pedig azt jelenti, ha 5 a negyedikent emeljük négyzetre, akkor 5 a negyedikent szorozzuk meg öt a negyedikennel. Vagyis 4 plusz 4 db ötöst szorzunk össze, azaz 8 ötöst. Tehát a hatványkitevő 8, a két eredeti kitevőnek a négynek és a kettőnek a szorzata.

Műveletek azonos kitevőjű hatványokkal

Azonos kitevőjű hatványokat úgy is szorozhatunk, hogy az alapok szorzatát emeljük a közös kitevőre. Vagy visszafelé, fordított irányból: egy szorzat hatványa egyenlő a tényezők hatványának a szorzatával.

Azonos kitevőjű hatványokat úgy is oszthatunk, hogy az alapok megfelelő sorrendben vett hányadosát emeljük a közös kitevőre. Vagy fordított irányból, visszafelé: hányados hatványa egyenlő a számláló hatványának és a nevező hatványának a hányadosával.

Negatív számok hatványozása

Negatív számok hatványozása ugyanúgy egy többtényezős szorzat, mint a pozitív alapú hatványozás. Itt azonban arra kell figyelni, hogy páros számú negatív szám szorzatának az eredménye pozitív lesz. Míg páratlan számú negatív számot összeszorozva az eredmény, azaz a hatványérték negatív lesz. Illetve fontos, ha negatív alapú hatványokkal kell műveletet végezni, akkor az alapot mindenképpen tegyük zárójelbe. Ellenkező esetben ugyanis a pozitív alap ellentettjéről van ugyanis szó.

Ha szeretnéd egy kicsit gyakorolni a hatványozással való műveleteket, akkor nézd meg az erről készült videót. Ha azonban komolyan gondolod a matek órákra való felkészülést, akkor viszont tanulj a GOMATEK interaktív tanfolyamaival.

Éva

GOMATEK

Kombinatorikai feladatok megoldása könnyedén

A kombinatorika, vagyis a lehetőségek összeszámolásának tudománya, elsőre bonyolultnak tűnhet. Azonban, ha megérted az alapelveket és néhány hasznos trükköt, könnyedén megbirkózhatsz a kombinatorikai feladatokkal. Ebben a cikkben olyan stratégiákat, tippeket és kombinatorikai példákat mutatok be, amelyek segítenek átlátni a kombinatorikai problémákat, és hatékonyan megoldani azokat.

Miért fontos a kombinatorikai feladatok megoldása?

A kombinatorika nemcsak a matematika egyik izgalmas területe, hanem számos más tudományágban és a mindennapi életben is fontos szerepet játszik. Az informatikában, a statisztikában, a valószínűségszámításban, sőt, még a sportban is alkalmaznak kombinatorikai módszereket. Ha megérted a kombinatorikai feladatok megoldási módját, jobban átlátod a körülötted lévő világ összefüggéseit, és hatékonyabb döntéseket tudsz hozni.

Alapfogalmak és képletek

Először nézzük át röviden a legfontosabb kombinatorikai fogalmakat és képleteket:

Permutáció: Az elemeknek valamilyen sorrendben történő elrendezése akár egyforma, azaz ismétlődő elemek esetén is. Például: Hányféleképpen lehet sorba állítani 5 embert?

Kombináció: Az elemeknek a sorrendtől független kiválasztása. Például: Hányféleképpen lehet 5 emberből 3-at kiválasztani egy bizottságba?

Variáció: Az elemek sorba rendezése és kiválasztása is egyszerre ismétléssel vagy ismétlés nélkül. Például: Hányféleképpen lehet 5 számjegyből háromjegyű számot írni?

A fenti fogalmakhoz tartozó képletek a következők:

Gyakori buktatók és azok elkerülése kombinatorikai feladatok megoldásakor

A kombinatorikai feladatok megoldásakor gyakori hiba, hogy a diákok összetévesztik a különböző fogalmakat, vagy elfelejtik, hogy a sorrend számít-e a feladatban. Fontos, hogy mindig gondosan átgondold, hogy milyen típusú feladatról van szó, és milyen képletet kell alkalmazni.

Egy másik gyakori hiba, hogy a diákok túl bonyolult megoldásokat keresnek. Sok esetben a legegyszerűbb megoldás a legjobb. Próbálj meg mindig a feladat lényegére koncentrálni, és ne bonyolítsd túl a dolgokat.

A kombinatorika a mindennapi életben: példák és alkalmazások

A kombinatorika, vagyis a lehetőségek összeszámolásának tudománya, sokkal közelebb áll a hétköznapi életünkhöz, mint gondolnánk. Bár elsőre bonyolultnak tűnhet, számos olyan helyzetben találkozunk vele, ahol tudatosan vagy tudat alatt is kombinatorikai ismereteket alkalmazunk. A következő kérdések mind a hétköznapi életből való kombinatorikai feladatok.

• Hányféleképpen állíthatsz össze egy háromfogásos ebédet, ha több előétel, főétel és desszert közül választhatsz egyet- egyet?
• Hányféleképpen állíthatja össze egy edző a kezdőcsapatát?
• Hányféle különböző jelszót hozhatsz létre, ha bizonyos feltételeket kell teljesítened (betűk, számok, speciális karakterek)?
• Hányféle különböző IP-cím létezik?
• Hányféle különböző genetikai kombináció lehetséges?

Nézzünk egy konkrét példát:

Feladat: Hányféleképpen tudod összeállítani a ruhatárad elemeiből egy szettet, ha 10 blúzod, 5 nadrágod 6 szoknyád, 4 cipőd és 5 karkötőd van?

Megoldás: A különböző ruhadarabok (felső, alsó, cipő, kiegészítők) kombinációjával rengeteg különböző szettet állíthatsz össze. A 10 blúz közül egyet 10-féleképpen, az 5 nadrág és 6 szoknya közül egyet 11-féleképpen, a 4 cipőből egyet négyféleképpen, az 5 karkötőből egyet ötféleképpen lehet kiválasztani. Ezek szorzata 10·11·4·5 azaz 2200 a megoldás.

Ha szeretnél még kombinatorikai feladatokat megoldani, akkor iratkozz fel a GOMATEK YouTube csatornájára. Itt nem csak ebből a témakörből találsz rövid, feladatmegoldó videókat.

Összefoglalva: A kombinatorika nem csak egy száraz matematikai elmélet, hanem egy olyan eszköz, amely segít megérteni és megoldani a mindennapi életünkben felmerülő problémákat. A kombinatorikai gondolkodásmód fejlesztésével hatékonyabban tudunk navigálni a világ összetett rendszerében.

Éva

GOMATEK

Lineáris függvény ábrázolása

Függvényeket koordináta rendszerbe többféle módszerrel ábrázolhatunk. Nagyban megkönnyítheti a munkánkat egy olyan függvényábrázoló program, mint a GeoGebra. Kár, hogy a dolgozatoknál vagy a matek érettségin nem lehet használni. De egy lineáris függvény ábrázolása nem nehéz program vagy app nélkül sem.

Sok esetben, ha összetettebb függvényt kell ábrázolni, akkor értéktáblázat készítése a célszerű. Egy lineáris függvényt viszont könnyen ábrázolhatunk enélkül, a hozzárendelési szabályt ismerve. Az interaktív GOMATEK tanfolyam 9. -es kurzusában ezt is megtanulható.

Lineáris függvények

Lineáris függvények azok a függvények, amelyeknek a képe egyenes. Ezeknek is több fajtája van, lineáris függvény a konstans függvény, az elsőfokú függvény és az egyenes arányosság függvény is. Sőt az egyenes arányosság függvény nem csak lineáris, hanem elsőfokú függvény is.

Lineáris függvények hozzárendelési szabálya

Az elsőfokú függvény hozzárendelési szabálya: y=ax+b alakú, ahol „a” 0-tól különböző valós szám, „b” pedig tetszőleges valós szám lehet. Az „a” helyett akár „m”-et is írhatunk, ez a függvény meredeksége. A „b” pedig az y tengellyel való metszéspont második koordinátája. A meredekség megmutatja, ha kiválasztunk egy tetszőleges pontot az egyenesen, és innen az x tengellyel párhuzamosan pozitív irányba, azaz jobbra egyet lépünk, akkor mennyit kell lépnünk az y tengellyel párhuzamosan, hogy újra az egyenesre kerüljünk.

Az egyenes arányosság függvény olyan lineáris függvény, ahol b=0. Ez azt jelenti, hogy a függvény az y tengelyt az origóban metszi. A hozzárendelési szabálya y=ax. Az egyenes arányosság függvény grafikonja az origón átmenő egyenes.

Konstans függvény egy olyan lineáris függvény, amelynek a meredeksége nulla. Vagyis a=0. Ekkor a hozzárendelési szabály y=b. A konstans függvény képe az x tengellyel párhuzamos egyenes.

Lineáris függvény ábrázolása

Lineáris függvényt úgy célszerű ábrázolni, hogy előbb megkeressük hol metszi az y tengelyt a függvény ábrája. A lineáris függvény grafikonja a (0;b) pontban metszi az y tengelyt. Ezt a pontot kell először megjelölni az y tengelyen.

Ezután, ha a meredekség tört alakban van megadva, akkor a nevező értékét jobbra a számlálót, ha pozitív fel, ha negatív lefele kell lépni, az előbb megjelölt pontból. Ha a meredekség egész szám, akkor először törté alakítjuk, azaz osztjuk egyel, vagyis a nevező 1 lesz. Innen ugyanúgy járunk el, ahogy az előbb leírtam. Ezt kell néhányszor megcsinálni, majd a keletkezett pontokat egy vonalzó mentén összekötni. Így megkapjuk az egyenest, ami a lineáris függvény képe.

Egy konkrét példa

Feladat: Ábrázoljuk az f(x)=3x-2 függvényt!

Ez a függvény egy lineáris függvény, ráadásul sem a meredekség, sem az y tengellyel való metszéspont második koordinátája nem 0. Ez azt jelenti, hogy elsőfokú függvény. Mivel a meredekség 3, ezért nem konstans függvény, az ábrája nem párhuzamos az x tengellyel. A hozzárendelési szabályban b értéke nem 0, vagyis nem az origón megy keresztül a függvény.

A b=-2 azt jelenti, hogy az y tengelyt a függvény a (0; -2) pontban metszi. Ezt a pontot be is jelölhetjük. A meredekség a=3, ez most nem tört alakban van, de ha törté alakítjuk, akkor a számláló marad 3, a nevező pedig 1. Ez azt jelenti, hogy az előbb bejelölt pontból egyet kell jobbra, és 3-at fel lépni. Ezt néhányszor megismételve megkapjuk a függvény néhány pontját.

A függvény y tengellyel való metszéspontjából nem csak jobbra lépegethetünk, hanem balra is. Ha innen balra lépünk most 1-et, akkor 3-at kell lefelé lépni, hogy a függvény követkető pontját megkapjuk. Most már csak össze kell kötni a pontokat.

Ha gyakorolni szeretnéd a függvény ábrázolását, akkor nézd meg a következő videót!

Éva

GOMATEK