Valószínűségszámítás feladatok

A valószínűségszámítás a matematikának az a területe, amely a véletlen események bekövetkezésének mértékét vizsgálja. A klasszikus valószínűségszámítást gyakran használjuk egyszerű véletlen kísérletek valószínűségének kiszámítására. Ebben a bejegyzésben a klasszikus valószínűségszámítás alkalmazását mutatom be. Illetve példákon keresztül szemléltetem, valószínűségszámítás feladatok megoldását.

A véletlen jelenségek kimenetelei, bekövetkezései az elemi események. A klasszikus valószínűségszámítás akkor alkalmazható, amikor a kísérlet összes kimenetele, vagyis az elemi események egyformán valószínűek. Sok valós életből vett helyzetben ez a feltétel nem teljesül, ezért ott más valószínűségi modelleket kell használni.

Mi a valószínűség?

A valószínűség azt fejezi ki, hogy egy bizonyos esemény mekkora eséllyel következik be. Más szavakkal, egy számmal jellemezzük, hogy mennyire valószínű, hogy egy kísérlet adott kimenetelű lesz. A valószínűség értéke egy egynél nem nagyobb pozitív szám. Egy a valószínűsége a biztos eseménynek és nulla a valószínűsége a lehetetlen eseménynek.

A klasszikus valószínűség

A klasszikus valószínűséget úgy számoljuk ki, hogy a kedvező esetek számát elosztjuk az összes eset számával. Ez az érték lesz az esemény valószínűsége. Az eseményeket nagy betűvel szoktuk jelölni, mint a halmazokat pl. A, B. A valószínűséget P-vel és utána zárójelbe beírjuk, hogy melyik eseményről van szó, tehát az A esemény valószínűségét így írjuk le: P(A).

A kedvező esetek azok az esetek, amikor az A esemény bekövetkezik, ennek a száma k. Az összes esetet, ahogy a nevében is benne van, az összes lehetséges eset, ami bekövetkezhet, ezt általában n-nel jelöljük.

Összetettebb, bonyolultabb feladatoknál, a kedvező esetek, illetve az összes eset számának kiszámolásához kombinatorikai ismeretre lehet szükség. A kombinatorikáról itt készítettem egy magyarázó, segítő blogbejegyzést. Olvasd el ezt is!

Valószínűségszámítás feladatok a mindennapi életből

1. feladat: Egy városban 20 cég van. Ezek közül 12 legalább 30 főt foglalkoztat, míg 8 cégnél 30-nál kevesebb alkalmazott van. Egy egyetemi hallgató ezek közül a cégek közül választ magának véletlenszerűen gyakorlati helyet (mindegyik cég szívesen látná gyakornokként). Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott cégben 30-nál kevesebben dolgoznak?

Megoldás: Az esemény az, hogy a kiválasztott cégben 30-nál kevesebben dolgoznak. Az összes eset, annyi ahányféleképpen ki lehet választani a 20 cég közül 1-et, ez pedig 20. A kedvező esetet úgy fogalmazhatjuk meg, hogy hányféleképpen lehet a 20 cég közül kiválasztani egyet, ahol 30-nál kevesebben dolgoznak. Mivel 8 ilyen cég van, ezért a kedvező esetek száma k=8. Az A esemény valószínűsége: P(A)=k/n=8:20=0,4. Vagyis annak a valószínűsége, hogy ez az egyetemista egy 30 főnél kevesebb alkalmazottat foglalkoztató cégnél lesz gyakornok 0,4.

Most nézzünk egy kicsit nehezebb valószínűségszámítás feladatot

2. feladat: Egy focicsapatban 21 játékos van: 2 kapus, 8 védő és 11 csatár. Mi a valószínűsége annak, hogy véletlenszerűen kiválasztott 2 játékos közül legfeljebb az egyik védő?

Megoldás: Az A esemény most az, hogy a kiválasztott 2 játékos közül legfeljebb az egyik védő. Ez azt jelenti, hogy vagy nulla, vagy egy védőt választunk ki. Az összes esetet úgy fogalmazhatjuk meg, hogy hányféleképpen lehet 21 játékosból 2-t kiválasztani. Ez egy ismétlés nélküli kiválasztás, ahol a sorrend nem számít. Tehát kombinációval lehet kiszámolni, az értéke n=210.

A kedvező eset, hogy hányféleképpen tudunk a 21 játékosból kettőt kiválasztani, hogy közülük legfeljebb az egyik védő legyen. Ezt is kombinációval számolhatjuk ki, két részre bontva. Először számoljuk ki azt, hogy hányféleképpen tudunk úgy kiválasztani két embert, hogy egyik sem védő. Ekkor a 13 nem védő közül kell 2-t választani, ez 78. 

Most számoljuk ki hányféleképpen lehet úgy két játékost választani, hogy az egyik védő legyen, a másik nem. Ebben az esetben a 8 védő közül egyet nyolcféleképpen és a 13 nem védő közül egyet 13-féleképpen lehet kiválasztani.  Az és szó arra utal, hogy egyszerre kell mindkettőnek teljesülni, vagyis össze kell szorozni a kapott két számot. Tehát 104 lehetőség van 2 embert választani úgy, hogy csak az egyik legyen védő.

A kedvező esetek száma az, amikor 0 vagy 1 védőt választunk. A vagy miatt az előbb megkapott értékeket össze kell adni, azaz k=182.

Annak a valószínűsége, hogy 2 olyan játékost választunk ki, akik közül legfeljebb az egyik védő: P(A)=k/n=182/210

Most te jössz! Gyakorold egy kicsit egy játékos feladatban a klasszikus valószínűség kiszámítását.

Ha pedig komolyan veszed a matektanulást, és jó jegyet szeretnél az érettségin, akkor minden témakört be kell gyakorolnod. Ebben segítségedre lesznek a GOMATEK interaktív oktatóprogramjai, amelyekből a középiskolai évfolyamok teljes anyagát be tudod gyakorolni. Megtanulhatsz önállóan feladatokat megoldani az interaktív videók és interaktív feladatlapok használatával. Ezen kívül sok nyomtatható feladatlapot, és az elméletet is le tudod tölteni. Valamint megtanulhatod a számológép használatát is.

Éva

GOMATEK

A logaritmus

A matek órák egyik „legcsúnyább”, legfélelmetesebb kifejezése a logaritmus. Sok diák itt veszti el a fonalat, és kezdi feladni a matekkal kapcsolatos terveit. Ha eddig ment is neki a matek, most ettől a fogalomtól úgy megijed, hogy teljesen bepánikol. Azt gondolja, hogy neki ez úgysem fog menni, ez számára megugorhatatlan feladat. Próbáljuk meg együtt megszelídíteni a logaritmust.

A definíció

Nézzük meg először a logaritmus fogalmát. Az „a” alapú logaritmus „b” azt a „c” kitevőt jelenti, amelyre, ha „a”-t emeljük akkor pont „b”-t fogunk kapni. Tehát a logaritmusnál is itt a hatványozás. Nagyon fontos, hogy az „a”, azaz a logaritmus alapja csak pozitív szám lehet, de 1 nem lehet.  A logaritmus utáni szám, tehát a „b” szintén csak pozitív szám lehet. A „c” vagyis a logaritmus értéke viszont bármilyen valós szám lehet.

A logaritmus jelölésére a log-ot használjuk, ahol alsó indexbe a logaritmus alapját írjuk. De a logaritmusok között van egy különleges logaritmus, a tízes alapú logaritmus. Ez azért is különleges, mert az írásmódja más. Itt nem írjuk az alapot és a log rövidítés helyett csak lg-t használunk.

Milyen előzetes tudás szükséges a logaritmus alkalmazásához?

A logaritmus csak akkor fog menni, ha előtte korábban az előző években a hatványozás négyzetgyökvonás és az n-edik gyökvonás fogalmai és azonosságai is mentek. Ezenkívül logaritmusos feladatok megoldása során belefuthatunk egyszerűbb exponenciális egyenletekbe is. Vagyis ezeknek a megoldását is tudni kell ahhoz, hogy a logaritmussal boldoguljunk. 

Logaritmus a matek érettségin

A  2024 utáni középszintű matek érettségin a logaritmus egyre kevesebb szerepet kap. Már nem kell tudni használni a logaritmus azonosságait, és logaritmusos egyenleteket sem kell megoldani középszintű matek érettségi. Ezek mind átkerültek emelt szintre. De ki kell tudni számolni bármilyen alapú logaritmus értékét tízes alapú logaritmus segítségével.

Logaritmus és a számológép

A legtöbb számológép különösen az újabb típusú számológépek már bármilyen alapú logaritmust tudnak kezelni. A régebbi számológépek még csak a tízes alapú logaritmussal tudtak dolgozni, de az újak már akármilyen alapú logaritmust ismernek. Tehát egy újabb számológép segítségével a logaritmusos feladatok a középszintű matek érettségin nagyon könnyen megoldhatók.

Akinek viszont a számológépe nem tud tetszőleges alapú logaritmust kiszámolni, csak tízes alapút, a függvénytáblázatban lévő képletet nyugodtan segítségül hívhatja.

Példák a definíció alkalmazására

Mennyi a kettes alapú logaritmus négy?

Ez a feladat úgy is megfogalmazható, hogy kettőnek, azaz a logaritmus alapjának hányadik hatványa a négy. Hát ezt mindenki tudja, hogy kettő a másodikon a négy. Tehát kettes alapú logaritmus négy egyenlő kettővel. Ugye, hogy nem is olyan nehéz ez. Kivéve, ha ennél bonyolultabb számok vannak, például gyökök vagy törtek. 

Egy másik példa: Hányas alapú logaritmus 27 lesz egyenlő hárommal?

Itt ugye az a kérdés, hogy melyik az a szám amelyiknek a harmadik hatványa 27? Harmadik gyököt vonunk a 27-ből, és megkapjuk, hogy ez a három. Tehát hármas alapú logaritmus 27 lesz egyenlő hárommal.

Most nézzük mi van akkor, ha az a kérdés, hogy az ötös alapú logaritmus mennyi lesz egyenlő hárommal?

Itt pedig ugye az a kérdés, hogy 5-nek mennyi a harmadik hatványa? Ötnek a harmadik hatványa 125, vagyis ötös alapú logaritmus 125 lesz egyenlő hárommal.

Milyen feladatokban használható a logaritmus?

A logaritmus középszintű érettségin előfordulhat egyszerű definíció szintjén, amilyen feladatokat az előbb már megoldottunk. De egyszerűbb exponenciális egyenletek megoldásának a során is kell használni a logaritmus definícióját. Illetve az olyan szöveges feladatoknál, amelyek exponenciális egyenlettel írhatók fel, ott is előjön a logaritmus.

Tipikus ilyen életből vett feladat, amikor kamatos kamatszámításnál az éveket kell meghatározni.  Például hány évre tegyük be a bankba a pénzünket, hogy 8%-os kamatos kamat mellett a dupláját kapjuk vissza.

Ha egy picit szeretnéd még gyakorolni a logaritmust, akkor ajánlom, hogy nézd meg ezt a videót, és iratkozz fel a GOMATEK YouTube csatornára.

Inkább ennél komolyabb és rendszeres segítségre van szükséged, akkor az interaktív videós tanfolyamok fognak tudni neked segíteni

Éva

GOMATEK

Hatványozás definíciója, azonosságai

A hatványozás is egy matematikai művelet. Ha egy számot vagy kifejezést önmagával többször megszorzunk, akkor az a hatványozás. Ez a művelet nem mellesleg rövidítés is, hiszen nem kell pl. 13 db kettest szorzásjellel összekapcsolva leírni egymás mellé. Ehelyett elég egy db kettest írni és a jobb felső sarokba a 13-at. De nézzük is meg részletesen mit kell tudni egy középiskolásnak a hatványozásról.

A hatványozás fogalma

Ha „a” egy tetszőleges valós szám, az „n” pedig egy 1-nél nagyobb egész szám, akkor az „a az n-ediken” egy „n” tényezős szorzat, amelynek minden tényezője „a”.

Ezen kívül fontos információ az is, hogy bármely szám első hatványa önmaga, és egynek minden hatványa 1. Valamint bármely 0-tól különböző szám 0-dik hatványa 1. A nulla nulladik hatványát nem értelmezzük.

Negatív kitevőjű hatványok

Ha az „a” alap nullától különböző valós szám, az „n” kitevő pozitív egész szám, az „a” szám mínusz n-edik hatványa, az „a” alap reciprokának az n-edik hatványa. Azaz az alap reciprokát emeljük a kitevő ellentettjére. Ez azt jelenti, hogy eredményül akár törtet is kaphatunk.

Hatványozás azonosságai

A hatványokkal különböző műveleteket is lehet végezni. Nézzük meg, hogyan lehet ezeket a műveleteket elvégezni először azonos alapú hatványokkal. Ezután pedig a különböző alapú, de azonos kitevőjű hatványokkal való műveletek következnek majd.

Műveletek azonos alapú hatványokkal

Azonos alapú hatványokat úgy is szorozhatunk, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük. Ez azt jelenti, hogy ha 5 a másodikont megszorozzuk 5 a negyedikennel, akkor eredményül öt a hatodikont kapunk. Gondold csak végig, 2 db ötöst és 4 db ötöst összeszorzunk, akkor 6 db ötös szorzata lesz az eredmény, ez pedig „5 a 6.-on”.

Azonos alapú hatványokat úgy is oszthatunk, hogy a közös alapot a kitevők különbségére emeljük. Ha 5 a negyedikent elosztjuk 5 a másodikonnal, akkor eredményül öt a négyzetent kapunk. Az osztást törtként is felírhatjuk, így két ötössel tudunk egyszerűsíteni, hogy megkapjuk az eredményt. Azonos alapú hatványok osztásakor, az eredmény kitevője akár negatív is lehet.

Hatványt úgy is hatványozhatunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük. Ez pedig azt jelenti, ha 5 a negyedikent emeljük négyzetre, akkor 5 a negyedikent szorozzuk meg öt a negyedikennel. Vagyis 4 plusz 4 db ötöst szorzunk össze, azaz 8 ötöst. Tehát a hatványkitevő 8, a két eredeti kitevőnek a négynek és a kettőnek a szorzata.

Műveletek azonos kitevőjű hatványokkal

Azonos kitevőjű hatványokat úgy is szorozhatunk, hogy az alapok szorzatát emeljük a közös kitevőre. Vagy visszafelé, fordított irányból: egy szorzat hatványa egyenlő a tényezők hatványának a szorzatával.

Azonos kitevőjű hatványokat úgy is oszthatunk, hogy az alapok megfelelő sorrendben vett hányadosát emeljük a közös kitevőre. Vagy fordított irányból, visszafelé: hányados hatványa egyenlő a számláló hatványának és a nevező hatványának a hányadosával.

Negatív számok hatványozása

Negatív számok hatványozása ugyanúgy egy többtényezős szorzat, mint a pozitív alapú hatványozás. Itt azonban arra kell figyelni, hogy páros számú negatív szám szorzatának az eredménye pozitív lesz. Míg páratlan számú negatív számot összeszorozva az eredmény, azaz a hatványérték negatív lesz. Illetve fontos, ha negatív alapú hatványokkal kell műveletet végezni, akkor az alapot mindenképpen tegyük zárójelbe. Ellenkező esetben ugyanis a pozitív alap ellentettjéről van ugyanis szó.

Ha szeretnéd egy kicsit gyakorolni a hatványozással való műveleteket, akkor nézd meg az erről készült videót. Ha azonban komolyan gondolod a matek órákra való felkészülést, akkor viszont tanulj a GOMATEK interaktív tanfolyamaival.

Éva

GOMATEK