Derékszögű háromszög: Minden, amit tudni kell a területéről, kerületéről és magasságáról

A derékszögű háromszög az egyik legismertebb olyan geometriai alakzat, amellyel a matematikán kívül a mindennapi életben is találkozunk. Építészeten a navigációs problémák megoldásán vagy a számítógépes grafikán kívül is számos területen alkalmazunk derékszögű háromszögeket. Pitagorasz tétel gyakorlati alkalmazásának, a derékszögű háromszög tulajdonságainak az ismerete elengedhetetlen a különböző mérésekhez, számításokhoz.

A derékszögű háromszög a navigációban

A derékszögű háromszögnek fontos szerepe van a vízi, légi vagy akár földi navigáció során. Ezekből a háromszögekből Pitagorasz tétel és szögfüggvények segítségével pontosan meghatározhatók a távolságok és a szögek. Ezekhez az életből vett példákhoz hasonló pedig bármikor szerepelhet a matematika érettségin.

Derékszögű háromszög oldalai

A derékszögű háromszög oldalait megkülönböztetjük. A leghosszabb oldal, ami a derékszöggel szemben van az átfogó. A derékszög két szára a befogó. Ez a két oldal egymásra merőleges, vagyis az egyik befogó a másik befogóhoz tartozó magasság.

Derékszögű háromszögek kerülete, területe

Mint minden háromszög esetében a derékszögű háromszög kerülete is a három oldal hosszának az összege.

Területét is ugyanúgy számoljuk ki, mint bármelyik háromszögnek a területét. Az egyik oldal és az ahhoz tartozó magasság szorzatának a fele. Mivel a két befogó egymáshoz tartozó magasság, ezért a derékszögű háromszög területe a két befogó szorzatának a fele.

A trigonometrikus területképlet is alkalmazható úgy, hogy az átfogót az egyik befogót, az általuk bezárt szög szinuszát összeszorozzuk és elosztjuk kettővel.

Derékszögű háromszög kerülete, területe feladat

Feladat: Egy derékszögű háromszög területe 24 területegység, az egyik befogója 6 egység hosszú. Mekkora a háromszög kerülete?

Megoldás: A háromszög kerületének a kiszámolásához mind a három oldal hosszát ismerni kell. A területből az egyik befogó segítségével a másik befogó könnyen kiszámolható. Az átfogót ezek után Pitagorasz tétel segítségével lehet meghatározni.

Derékszögű háromszögek más síkidomokban

Matek feladatok megoldása közben gyakran bontunk más síkidomokat kisebb derékszögű háromszögekre. A derékszögű háromszögek szögeit, oldalait ugyanis szögfüggvények, illetve Pitagorasz tétel használatával már könnyen meg tudjuk határozni.

Milyen síkidomokban fordulnak elő derékszögű háromszögek?

A négyzeteket és téglalapokat az egyik átlójuk berajzolásával feloszthatjuk két egybevágó, derékszögű háromszögre.

A rombusz átlói merőlegesen felezik egymást, tehát itt is vannak derékszögű háromszögek.

A deltoid szimmetriaátlója merőlegesen felezi a másik átlót, ezáltal szintén derékszögű háromszögek keletkeznek.

A paralelogrammánál a csúcsból a szemközti oldalra állított merőleges, azaz a magasságvonal berajzolásával kapunk ilyen háromszöget.

A trapéz esetében pedig a rövidebb alap végpontjából a másik alapra állított merőleges segítségével lesz derékszögű háromszög

Szabályos sokszögek egyenlő szárú háromszögekre bonthatók, ezeket az alaphoz tartozó magasság két derékszögű háromszögre bontja.

Derékszögű háromszögek testekben

Ha a testeket sokszöglapok határolják, akkor az előbb említett módon készíthetünk derékszögű háromszögeket. Valamint a gúláknál a csúcspontból az alap síkjára állított merőleges segítségével is keletkezik ilyen háromszög.

Ha szeretnéd elmélyíteni a tudásod és gyakorolni a számításokat, a GOMATEK tanfolyamaiban számos interaktív feladatot találsz. A játékos feladatokkal könnyedén elsajátíthatod a derékszögű háromszögek területének és kerületének kiszámítását. Fedezd fel a geometria szépségét a GOMATEK interaktív oktatóprogrammal.

Éva

GOMATEK

Kombinatorika érettségi feladatok megoldással

Kombinatorikai feladatokkal már általános iskolában is találkoznak a diákok, majd középiskolában minden évben előjönnek ezek a feladattípusok. Az érettségin is mindig van egyszerűbb, illetve összetettebb kombinatorikai feladat, és a valószínűségszámítás feladatokat is nehéz kombinatorikai ismeretek nélkül megoldani. Ebben a cikkben kombinatorika érettségi feladatok megoldással kerülnek bemutatásra.

Kombinatorika alapfogalmai

A kombinatorika alapfogalmairól, köztük lévő különbségekről, a képletekről korábban már írtam. Olvasd el először ezt az írást, hogy megtudd, mi a különbség a permutáció, variáció és kombináció között. Ha az elmélettel tisztában vagy akkor jöhetnek a feladatok.

Egyszerű kombinatorika érettségi feladatok megoldással

1. feladat

A 32 lapos magyar kártyában négy szín (piros, zöld, tök, makk), és minden színből nyolcféle lap van (VII, VIII, IX, X, alsó, felső, király, ász). Hányféleképpen tudunk a 32 kártyából egyszerre 3 lapot kihúzni úgy, hogy a piros ász köztük legyen?

Megoldás: Mivel a kiválasztott lapok között ott kell lennie a piros ásznak, azt mindenképpen ki kell húznunk. Hogy ezt meg tudjuk tenni válasszuk külön a lapokat. Az egyik csoportba kerül a kiválasztandó piros ász, a másik csoportba a többi 31 lap. A piros ászt mivel egyedül van, ezért egyféleképpen lehet kiválasztani. Ehhez kell még 2 lapot kihúzni a maradék 31 lapból. Itt most csak kiválasztunk, a sorrend nem számít. Ezt a két lapot 31 alatt a 2 féleképpen húzhatjuk ki. Ezt az eredményt kell megszorozni azzal az eggyel, ahányféleképpen a piros ászt választhatjuk ki. Az eredmény 465.

2. feladat

Négy gombóc fagylaltot vásárolunk tölcsérbe: egy csokoládét, egy vaníliát, egy puncsot és egy eperízűt. Hányféle olyan sorrendje lehetséges ennek a négy gombócnak, amelynél nem a csokoládé a legalsó?

Megoldás: Mivel az alsó gombóc nem lehet csoki, ezért oda három másikból választhatunk háromféleképpen. Mind a négy gombócból kell venni, ismétlődni nem ismétlődnek a gombócok. Valami tehát került alulra, ami nem csoki, a többi három helyre (3.; 2.; 1.;) a maradék három fagyit kell sorba rendezni. Három elemet 3! azaz 6 féleképpen lehet sorba tenni. Ezt az eredményt kell még megszorozni azzal a 3 lehetőséggel, ahányféleképpen a legalsó íz választható ki. Vagyis összesen 18 féle sorrendje lehet a megadott feltételek mellett a gombócoknak.

3. feladat

Egy futóverseny döntőjébe hat versenyző jutott, jelöljük őket A, B, C, D, E és F betűvel. A cél előtt pár méterrel már látható, hogy C biztosan utolsó lesz, továbbá az is biztos, hogy B és D osztozik majd az első két helyen. Hányféleképpen alakulhat a hat versenyző sorrendje a célban, ha nincs holtverseny? Válaszát indokolja!

Megoldás: Az utolsó helyen C egyféleképpen végezhet. Az első két hely valamelyikén B és D osztozhat kétféleképpen. Vagy a B az első és D a második, vagy pedig fordítva. A harmadik, negyedik, ötödik helyen A, E és F osztozik. Három embert 3!=6 féleképpen lehet sorba rendezni. Ezt megszorozva kettővel 12 féleképpen érhetnek célba a megadott feltételek mellett a versenyzők.

Összetettebb érettségi feladatokban kombinatorika

Az érettségi második részében szereplő nehezebb feladatok szinte mindig több részből állnak. Legtöbb esetben ezek az alkérdések még csak nem is ugyanahhoz a feladattípushoz tartoznak.

Ez nagyon vizsgázóbarát, hiszen, ha egy részét nem tudja a diák a feladatnak, attól a másik témakörhöz tartozó feladat még sikerülhet.

Többször előfordult már, hogy a kombinatorika érettségi feladatok a második részben halmazokkal, statisztikával vagy valószínűségszámítással vannak összekapcsolva. Vagyis nem egy adott témakör pl. a kombinatorika egy hosszabb, összetettebb feladatát kell megoldani, hanem két-három egyszerűbb feladatot.

Ha szeretnél még egy kicsit gyakorolni, akkor ezt a játékot javaslom.

Ha eddig nem voltál elég sikeres matekból, akkor próbáld ki ezt az új módszert ingyen.

Vagy inkább rendszeres és konkrét segítségre van szükséged, akkor a GOMATEK tanfolyamaival fejlődhetsz.

Éva

GOMATEK

Szinusztétel feladatok megoldással

kis segítség matekból középiskolás gyermekednek

A diákok miután megtanulták a középiskolában a tompaszögek, illetve a derékszög szinuszát kiszámolni megismerkednek a szinusztétellel is. Sokakat már a tétel szó frusztrál, és leblokkol, mielőtt nekilátna a szinusztétel feladatok megoldásának. Pedig nem is nehéz ez, mutatok két példát megoldással együtt szinusztételes feladatokról. Valamint egy videót is belinkelek  illetve egy interaktív játékkal is gyakorolhat gyermeked.

Hogyan nem lehet szinusztétel feladatokat megoldani?

Biztos a te gyermekednek is segítség az, ha valaki elmagyarázza egy-két példán keresztül matekból a számára nehezebben érthető részeket. Egy matekfeladat megoldásához nélkülözhetetlen az elméleti anyag ismerete, és az erre épülő korábbi tananyagban való jártasság. Ezek nélkül, illetve egy számológép, valamint írásra alkalmas akár digitális eszközök nélkül ne üljön le szinusztételről szóló feladatokat megoldani. Fejben, számológép nélkül az interaktív játékhoz sem célszerű hozzáfogni.

Mi az a szinusztétel?

A szinusztétel azt mondja ki, hogy egy háromszögben két oldal aránya és a velük szemközti megfelelő szögek szinuszának aránya megegyezik.

Ezt az arányt a következőképpen is megfogalmazhatjuk. Egy oldal és a vele szemben lévő szög szinuszának aránya megegyezik egy másik oldal és az azzal szemközti szög szinuszának arányával.

A szinusztételt nem derékszögű háromszögekre alkalmazzuk elsősorban. Természetesen lehet derékszögű háromszög esetében is használni, de ott szögfüggvényekkel könnyebb, gyorsabb számolni.

Mikor alkalmazhatjuk a szinusztételt?

A szinusztételt akkor célszerű alkalmazni, amikor a háromszög két oldalát adta meg a feladat és az egyikkel szemben fekvő szöget. Ekkor szinusztétellel ki lehet számolni a másik adott oldallal szemközti szöget. A háromszög két szögének ismeretben a harmadik szög kiszámolható, hiszen tudjuk, hogy a háromszögek belső szögeinek az összege 180 fok.

Illetve akkor is alkalmazható a szinusztétel, amikor ismerjük a háromszög két szögét és az egyik oldalát. Ekkor könnyen meg tudjuk mondani a harmadik szög nagyságát. Ezután pedig az adott oldal és a vele szemközti szög szinuszának aránya egyenlő egy keresett oldal és a vele szemközti szög szinuszának az arányával.

Egyszerű szinusztétel feladat megoldással

Feladat: Egy háromszög két oldala 8 cm és 12 cm, a 8 cm-es oldallal szemben 40 fokos szög van. Mekkora a háromszög többi szöge?

Megoldás: Mivel nem derékszögű a háromszög, ezért nem szögfüggvényt alkalmazunk a feladat megoldása során. Két oldal és az egyikkel szemközti szög ismert, tehát szinusztétellel tudjuk megoldani a példát. Azaz a 8 cm-es oldal és a vele szemközti szög szinusza egyenlő a 12 cm-es oldal és a vele szemközti oldal szinuszával.

Miután ezt az egyenlőséget felírtunk keresztbe szorzunk és egy osztással megkapjuk a keresett szög szinuszát. Ebből számológépen visszakereséssel megvan a szög is. Arra figyelni kell, hogy akár tompaszögű is lehet a háromszög, vagyis két megoldásunk lesz. Majd mindkét esetben kiszámoljuk a háromszög harmadik szögét, felhasználva azt, hogy a belső szögek összege 180 fok.

Újabb példa

Feladat: Egy háromszög két szöge 50° és 60° a háromszög legkisebb oldala 10 cm. Hány cm a háromszög többi oldala?

Megoldás: Mivel a háromszögnek két szöge ismert, meg tudjuk mondani a harmadik szöget is. Ezt a két szöget kivonva 180 fokból azt kapjuk, hogy a harmadik szög 70°. Tehát a háromszög nem derékszögű. Tudjuk, hogy egy háromszögben a legkisebb oldal a legkisebb szöggel szemben van. Ezeket megadta a feladat, vagyis ismert a háromszög mindhárom szöge és az egyikkel szemközti oldal. Két szinusztételből meg tudjuk mondani a hiányzó oldalakat.

A 10 cm-es oldal és a vele szemközti 50 fokos szög szinusza egyenlő az egyik keresett oldal és a vele szemközti (mondjuk) 60 fokos szög szinuszával. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozva a 60 fokos szög szinuszával, már meg is kapjuk a keresett oldalt. A harmadik oldal az képen látható módon szintén egy szinusztételből számolható, az előzőhöz hasonlóan.

Hasonló szinusztétel feladat megoldását nézhet meg gyermeked ebben a videóban.

De ha nem csak ebből a feladattípusból lenne szükség állandó segítségre, akkor javaslom a GOMATEK interaktív tanfolyamokból gyakorlás. Itt ugyanis nemcsak megnézi, hogy más hogyan csinál meg is egy feladatot, hanem megtanul önállóan megoldani feladatokat. Ha még nem tettétek, akkor próbálja ki itt ingyen gyermeked. De persze ez sem való mindenkinek, csak a céltudatos, önállóan dolgozni akaró diákoknak. 

Éva

GOMATEK

Valószínűségszámítás feladatok

A valószínűségszámítás a matematikának az a területe, amely a véletlen események bekövetkezésének mértékét vizsgálja. A klasszikus valószínűségszámítást gyakran használjuk egyszerű véletlen kísérletek valószínűségének kiszámítására. Ebben a bejegyzésben a klasszikus valószínűségszámítás alkalmazását mutatom be. Illetve példákon keresztül szemléltetem, valószínűségszámítás feladatok megoldását.

A véletlen jelenségek kimenetelei, bekövetkezései az elemi események. A klasszikus valószínűségszámítás akkor alkalmazható, amikor a kísérlet összes kimenetele, vagyis az elemi események egyformán valószínűek. Sok valós életből vett helyzetben ez a feltétel nem teljesül, ezért ott más valószínűségi modelleket kell használni.

Mi a valószínűség?

A valószínűség azt fejezi ki, hogy egy bizonyos esemény mekkora eséllyel következik be. Más szavakkal, egy számmal jellemezzük, hogy mennyire valószínű, hogy egy kísérlet adott kimenetelű lesz. A valószínűség értéke egy egynél nem nagyobb pozitív szám. Egy a valószínűsége a biztos eseménynek és nulla a valószínűsége a lehetetlen eseménynek.

A klasszikus valószínűség

A klasszikus valószínűséget úgy számoljuk ki, hogy a kedvező esetek számát elosztjuk az összes eset számával. Ez az érték lesz az esemény valószínűsége. Az eseményeket nagy betűvel szoktuk jelölni, mint a halmazokat pl. A, B. A valószínűséget P-vel és utána zárójelbe beírjuk, hogy melyik eseményről van szó, tehát az A esemény valószínűségét így írjuk le: P(A).

A kedvező esetek azok az esetek, amikor az A esemény bekövetkezik, ennek a száma k. Az összes esetet, ahogy a nevében is benne van, az összes lehetséges eset, ami bekövetkezhet, ezt általában n-nel jelöljük.

Összetettebb, bonyolultabb feladatoknál, a kedvező esetek, illetve az összes eset számának kiszámolásához kombinatorikai ismeretre lehet szükség. A kombinatorikáról itt készítettem egy magyarázó, segítő blogbejegyzést. Olvasd el ezt is!

Valószínűségszámítás feladatok a mindennapi életből

1. feladat: Egy városban 20 cég van. Ezek közül 12 legalább 30 főt foglalkoztat, míg 8 cégnél 30-nál kevesebb alkalmazott van. Egy egyetemi hallgató ezek közül a cégek közül választ magának véletlenszerűen gyakorlati helyet (mindegyik cég szívesen látná gyakornokként). Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott cégben 30-nál kevesebben dolgoznak?

Megoldás: Az esemény az, hogy a kiválasztott cégben 30-nál kevesebben dolgoznak. Az összes eset, annyi ahányféleképpen ki lehet választani a 20 cég közül 1-et, ez pedig 20. A kedvező esetet úgy fogalmazhatjuk meg, hogy hányféleképpen lehet a 20 cég közül kiválasztani egyet, ahol 30-nál kevesebben dolgoznak. Mivel 8 ilyen cég van, ezért a kedvező esetek száma k=8. Az A esemény valószínűsége: P(A)=k/n=8:20=0,4. Vagyis annak a valószínűsége, hogy ez az egyetemista egy 30 főnél kevesebb alkalmazottat foglalkoztató cégnél lesz gyakornok 0,4.

Most nézzünk egy kicsit nehezebb valószínűségszámítás feladatot

2. feladat: Egy focicsapatban 21 játékos van: 2 kapus, 8 védő és 11 csatár. Mi a valószínűsége annak, hogy véletlenszerűen kiválasztott 2 játékos közül legfeljebb az egyik védő?

Megoldás: Az A esemény most az, hogy a kiválasztott 2 játékos közül legfeljebb az egyik védő. Ez azt jelenti, hogy vagy nulla, vagy egy védőt választunk ki. Az összes esetet úgy fogalmazhatjuk meg, hogy hányféleképpen lehet 21 játékosból 2-t kiválasztani. Ez egy ismétlés nélküli kiválasztás, ahol a sorrend nem számít. Tehát kombinációval lehet kiszámolni, az értéke n=210.

A kedvező eset, hogy hányféleképpen tudunk a 21 játékosból kettőt kiválasztani, hogy közülük legfeljebb az egyik védő legyen. Ezt is kombinációval számolhatjuk ki, két részre bontva. Először számoljuk ki azt, hogy hányféleképpen tudunk úgy kiválasztani két embert, hogy egyik sem védő. Ekkor a 13 nem védő közül kell 2-t választani, ez 78. 

Most számoljuk ki hányféleképpen lehet úgy két játékost választani, hogy az egyik védő legyen, a másik nem. Ebben az esetben a 8 védő közül egyet nyolcféleképpen és a 13 nem védő közül egyet 13-féleképpen lehet kiválasztani.  Az és szó arra utal, hogy egyszerre kell mindkettőnek teljesülni, vagyis össze kell szorozni a kapott két számot. Tehát 104 lehetőség van 2 embert választani úgy, hogy csak az egyik legyen védő.

A kedvező esetek száma az, amikor 0 vagy 1 védőt választunk. A vagy miatt az előbb megkapott értékeket össze kell adni, azaz k=182.

Annak a valószínűsége, hogy 2 olyan játékost választunk ki, akik közül legfeljebb az egyik védő: P(A)=k/n=182/210

Most te jössz! Gyakorold egy kicsit egy játékos feladatban a klasszikus valószínűség kiszámítását.

Ha pedig komolyan veszed a matektanulást, és jó jegyet szeretnél az érettségin, akkor minden témakört be kell gyakorolnod. Ebben segítségedre lesznek a GOMATEK interaktív oktatóprogramjai, amelyekből a középiskolai évfolyamok teljes anyagát be tudod gyakorolni. Megtanulhatsz önállóan feladatokat megoldani az interaktív videók és interaktív feladatlapok használatával. Ezen kívül sok nyomtatható feladatlapot, és az elméletet is le tudod tölteni. Valamint megtanulhatod a számológép használatát is.

Éva

GOMATEK